Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA

Câu hỏi số 242758:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh \(M{{N}^{2}}=NF.NA\) và \(MN=NH\)

3) Chứng minh \(\frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}-\frac{EF}{MF}=1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242758

Phương pháp giải

+) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp.

+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng để từ đó suy ra các cặp cạnh tỉ lệ.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\widehat{MAO}=\widehat{MBO}={{90}^{0}}\) (vì MA và MB là các tiếp tuyến)

\(\Rightarrow \widehat{MAO}+\widehat{MBO}={{180}^{0}}\)

Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180^o)

b) Vì AE // MO nên AE ⊥ AB nên góc BAE nội tiếp chắn nửa đường tròn. Suy ra B, O, E thẳng hàng.

Xét tam giác MFN và AMN có \(\widehat{MFN}=\widehat{AFE}=\widehat{ABE}=\widehat{AMN}\) , \(\widehat{ANM}\) chung

\(\Rightarrow \Delta MFN\sim \Delta AMN\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MN}{AN}=\frac{NF}{MN}\Rightarrow M{{N}^{2}}=NF.NA\) (1)

Ta có: \(\widehat{MFB}=\widehat{MHB}={{90}^{0}}\) ⇒ MFHB nội tiếp đường tròn đường kính MB

\(\Rightarrow \widehat{BFH}=\widehat{BMH}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HB)

Mà \(\widehat{BMH}=\widehat{HBO}=\widehat{AFE}\)⇒ \(\widehat{BFH}=\widehat{AFE}\)

Ta có \(\widehat{BFH}+\widehat{HFE}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{AFE}+\widehat{HFE}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{AFH}={{90}^{o}}\)

Xét tam giác NFH và NHA có:

\(\widehat{NFH}=\widehat{AHN}={{90}^{o}}\)

\(\widehat{ANH}\) chung

\(\Rightarrow \Delta NFH\sim \Delta NHA\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{NH}{NA}=\frac{NF}{NH}\Rightarrow N{{H}^{2}}=NA.NF\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra\(N{{M}^{2}}=N{{H}^{2}}\Rightarrow NM=NH\)

c) Xét tam giác vuông NHA có \(H{{A}^{2}}=FA.NA\) và \(F{{H}^{2}}=FA.FN\)

Mà \(HA=HB\Rightarrow \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}=\frac{H{{A}^{2}}}{H{{F}^{2}}}=\frac{FA.NA}{H{{F}^{2}}}=\frac{NA}{HF}\)

\(\Rightarrow H{{B}^{2}}=H{{A}^{2}}=HF.NA\)

Vì AE // MN nên theo Ta lét ta có:\(\frac{EF}{MF}=\frac{FA}{NF}\)

\(\Rightarrow \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}-\frac{EF}{MF}=\frac{NA}{NF}-\frac{FA}{NF}=\frac{NF}{NF}=1\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link