Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: \(x+y+z=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 242759:

Vận dụng cao

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: \(x+y+z=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{x+1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y+1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z+1}{1+{{x}^{2}}}\)

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242759

Phương pháp giải

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.

+) Xác định GTNN của biểu thức và giá trị của x, y, z để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết

\(Q=\frac{x+1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y+1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z+1}{1+{{x}^{2}}}=\left( \frac{x}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z}{1+{{x}^{2}}} \right)+\left( \frac{1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right)=A+B\)

Xét \(A=\frac{x}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z}{1+{{x}^{2}}}\)

Ta có: \(\frac{x}{1+{{y}^{2}}}=\frac{x\left( 1+{{y}^{2}} \right)-x{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}=x-\frac{x{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}\ge x-\frac{x{{y}^{2}}}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)

Tương tự \(\frac{y}{1+{{z}^{2}}}\ge y-\frac{yz}{2}\),\(\frac{z}{1+{{x}^{2}}}\ge z-\frac{xy}{2}\)

Khi đó \(A=\frac{x}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z}{1+{{x}^{2}}}\ge x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

Lại có \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge xy+yz+zx\Rightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ge 3\left( xy+yz+zx \right)\)

\(\Rightarrow A\ge x+y+z-\frac{\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1.

Xét \(B=\frac{1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\)

Ta có

\(\begin{align} & 3-B=\left( 1-\frac{1}{1+{{y}^{2}}} \right)+\left( 1-\frac{1}{1+{{z}^{2}}} \right)+\left( 1-\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{1+{{z}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}\le \frac{{{y}^{2}}}{2y}+\frac{{{z}^{2}}}{2z}+\frac{{{x}^{2}}}{2x}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{align}\)

Suy ra \(B\ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy \(Q\ge 3\) .Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link