Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S1) có tâm I(2;1;1) có bán kính bằng 4 và mặt cầu (S2) có tâm

Câu hỏi số 246310:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S₁) có tâm I(2;1;1) có bán kính bằng 4 và mặt cầu (S₂) có tâm J(2;1;5) có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S₁) (S₁) Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị \(M+m\) bằng?

A. \(8\sqrt{3}\)

B. 9

C. 8

D. \(\sqrt{15}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246310

Giải chi tiết

Giả sử (P) tiếp xúc với (S₁), (S₂) lần lượt tại A,B

Gọi \(IJ\cap \left( P \right)=M\) ta kiểm tra được J là trung điểm IM do \(\frac{IA}{JB}=\frac{MI}{MJ}=2\) suy ra \(M\left( 2;1;9 \right)\)

Gọi \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right),\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)\) suy ra \(\left( P \right):\,a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & d\left( I;\left( P \right) \right)={{R}_{1}}=4 \\ & d\left( J;\left( P \right) \right)={{R}_{2}}=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}=3\left( 1 \right)\)

Ta có: \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2a+b+9c \right|}{2\left| c \right|}=\frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c}+\frac{b}{c}+9 \right|\)

Đặt \(t=\frac{2a}{c}+\frac{b}{c}\Leftrightarrow \frac{b}{c}=t-\frac{2a}{c}\) ta được \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{1}{2}\left| t+9 \right|\)

Thay \(\frac{b}{c}=t-\frac{2a}{c}\) vào (1) ta thu được \({{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( t-\frac{2a}{c} \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 5{{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}-4\frac{a}{c}t+{{t}^{2}}-3=0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(4{{t}^{2}}-5{{t}^{2}}+15\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{15}\le t\le \sqrt{15}\Leftrightarrow 0<9-\sqrt{15}\le t+9\le 9+\sqrt{15}\)

Suy ra \(\frac{9-\sqrt{15}}{2}\le d\left( O;\left( P \right) \right)\le \frac{9+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow M=\frac{9+\sqrt{15}}{2};m=\frac{9-\sqrt{15}}{2}\)

Suy ra \(M+m=9\) .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.