Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - {x^4} - \left( {m - 1}

Câu hỏi số 246638:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều?

A. \(m = 1 - 2\root 3 \of 3 \)

B. \(m = 1 + \root 3 \of 3 \)

C. \(m = 1\)

D. \(m = 1 \pm \root 3 \of 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246638

Phương pháp giải

Giải phương trình \(y' = 0\), tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số, tam giác tạo thành bởi ba điểm cực trị luôn là tam giác cân. Tìm điều kiện để tam giác cân đó trở thành tam giác đều.

Giải chi tiết

TXĐ: D = R.

\(y' = - 4{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr 2{x^2} = 1 - m\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow pt\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow 1 - m > 0 \Rightarrow m < 1\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A\left( {0;1} \right) \hfill \cr x = \sqrt {{{1 - m} \over 2}} \Rightarrow y = {{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt {{{1 - m} \over 2}} ;{{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1} \right) \hfill \cr x = - \sqrt {{{1 - m} \over 2}} \Rightarrow y = {{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt {{{1 - m} \over 2}} ;{{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1} \right) \hfill \cr} \right.\)

Dễ thấy \(\Delta ABC\) cân tại A.

Để \(\Delta ABC\) đều \( \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\)

Ta có \(A{B^2} = {{1 - m} \over 2} + {{{{\left( {1 - m} \right)}^4}} \over {16}},\,\,B{C^2} = 4.{{1 - m} \over 2} = 2\left( {1 - m} \right)\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow {{1 - m} \over 2} + {{{{\left( {1 - m} \right)}^4}} \over {16}} = 2\left( {1 - m} \right) \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {1 - m} \right)}^4}} \over {16}} = {3 \over 2}\left( {1 - m} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 1 - m = 0 \hfill \cr {{{{\left( {1 - m} \right)}^3}} \over {16}} = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr m = 1 - 2\root 3 \of 3 \,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.