Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều?

Câu 246638: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều?

A. \(m = 1 - 2\root 3 \of 3 \)

B. \(m = 1 + \root 3 \of 3 \)

C. \(m = 1\)

D. \(m = 1 \pm \root 3 \of 3 \)

Câu hỏi : 246638

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(y' = 0\), tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số, tam giác tạo thành bởi ba điểm cực trị luôn là tam giác cân. Tìm điều kiện để tam giác cân đó trở thành tam giác đều.

Đáp án : A
(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: D = R.

\(y' = - 4{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr   2{x^2} = 1 - m\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow pt\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow 1 - m > 0 \Rightarrow m < 1\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A\left( {0;1} \right) \hfill \cr   x = \sqrt {{{1 - m} \over 2}} \Rightarrow y = {{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt {{{1 - m} \over 2}} ;{{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1} \right) \hfill \cr   x = - \sqrt {{{1 - m} \over 2}} \Rightarrow y = {{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt {{{1 - m} \over 2}} ;{{{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \over 4} + 1} \right) \hfill \cr} \right.\)

Dễ thấy \(\Delta ABC\) cân tại A.

Để \(\Delta ABC\) đều \( \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\)

Ta có \(A{B^2} = {{1 - m} \over 2} + {{{{\left( {1 - m} \right)}^4}} \over {16}},\,\,B{C^2} = 4.{{1 - m} \over 2} = 2\left( {1 - m} \right)\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow {{1 - m} \over 2} + {{{{\left( {1 - m} \right)}^4}} \over {16}} = 2\left( {1 - m} \right) \cr   & \Leftrightarrow {{{{\left( {1 - m} \right)}^4}} \over {16}} = {3 \over 2}\left( {1 - m} \right) \cr   & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 1 - m = 0 \hfill \cr   {{{{\left( {1 - m} \right)}^3}} \over {16}} = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m = 1 - 2\root 3 \of 3 \,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.