Đường cong \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}\) có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Giá trị của tham số m nằm trong khoảng nào?

Câu 247230: Đường cong \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}\) có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Giá trị của tham số m nằm trong khoảng nào?

A. \(\left( {0;1} \right)\)

B. \(\left( { - 1;2} \right)\)

C. \(\left( {4;5} \right)\)

D. \(\left( {2;3} \right)\)

Câu hỏi : 247230

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC luôn là tam giác cân, giả sử cân tại A. Để \(\Delta ABC\) vuông (tại A) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).

Đáp án : B
(9) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = R\)

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4\left( {m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - \left( {m + 1} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr   {x^2} = m + 1 \hfill \cr} \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \Rightarrow y = {m^2} \Rightarrow A\left( {0;{m^2}} \right) \hfill \cr   x = \sqrt {m + 1} \Rightarrow y = -2m - 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt {m + 1} ; - 2m - 1} \right) \hfill \cr   x = - \sqrt {m + 1} \Rightarrow y = -2m - 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt {m + 1} ; - 2m - 1} \right) \hfill \cr} \right.\)

Dễ thấy \(\Delta ABC\) cân tại A, để \(\Delta ABC\) vuông (tại A) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)

\(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {m + 1} ; - {m^2} - 2m - 1} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - \sqrt {m + 1} ; - {m^2} - 2m - 1} \right) \cr   & \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - \left( {m + 1} \right) + {\left( { - {m^2} - 2m - 1} \right)^2} = 0 \cr   & \Leftrightarrow - \left( {m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^4} = 0 \cr   & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m + 1 = 0 \hfill \cr   {\left( {m + 1} \right)^3} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = - 1\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Chú ý:
Ta có thể sử dụng công thức sau để tính nhanh, tam giác \(ABC\) vuông cân \( \Leftrightarrow {b^3} = - 8a\)

\( \Rightarrow {\left( { - 2\left( {m + 1} \right)} \right)^3} = - 8 \Leftrightarrow - 8{\left( {m + 1} \right)^3} = - 8 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow m = 0\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.