Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều. Giá

Câu hỏi số 247227:

Thông hiểu

Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều. Giá trị của tham số m là:

A. \(m = {1 \over {\root 3 \of 3 }}\)

B. \(m = \root 3 \of 3 \)

C. \(m = - {1 \over {\root 3 \of 2 }}\)

D. \(m = - {1 \over {\root 3 \of 5 }}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247227

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC luôn là tam giác cân, giả sử cân tại A. Để \(\Delta ABC\) đều \( \Leftrightarrow AB = BC\).

Giải chi tiết

TXĐ: D = R.

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \(m > 0.\)

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \Rightarrow y = m - 1 \Rightarrow A\left( {0;m - 1} \right) \hfill \cr x = \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + m - 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + m - 1} \right) \hfill \cr x = - \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + m - 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1} \right) \hfill \cr} \right.\)

Dễ thấy \(A \in Oy,\,\,B,C\) đối xứng qua Oy nên \(\Delta ABC\) cân tại A.

Để \(\Delta ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow AB = BC\)

Ta có : \(AB = \sqrt {m + {m^4}} ;\,\,BC = 2\sqrt m ,\,\,AB = BC \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow {m^4} = 3m \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr m = \root 3 \of 3 \,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right.\)

Chú ý khi giải

Ta có thể sử dụng công thức sau để tính nhanh, tam giác \(ABC\) đều \( \Leftrightarrow {b^3} = - 24a\)

\( \Rightarrow {\left( { - 2m} \right)^3} = - 24 \Leftrightarrow - 8{m^3} = - 24 \Leftrightarrow {m^3} = 3 \Leftrightarrow m = \root 3 \of 3 \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.