Khi \(m \in \left\{ {a;b} \right\},\,\,a > b\) thì đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) có ba điểm

Câu hỏi số 247240:

Vận dụng

Khi \(m \in \left\{ {a;b} \right\},\,\,a > b\) thì đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Tính giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + 2{b^2}\).

A. \(T = 2\)

B. \(T = 5 - \sqrt 5 \)

C. \(T = 4 - \sqrt 5 \)

D. \(T = 2 + \sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247240

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \Rightarrow H \in Oy \Rightarrow H\left( {0;h} \right)\) và \(HA = HB = 1\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị \( \Rightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \Rightarrow y = m - 1 \Rightarrow A\left( {0;m - 1} \right) \hfill \cr x = \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + m - 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + m - 1} \right) \hfill \cr x = - \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + m - 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1} \right) \hfill \cr} \right.\)

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \Rightarrow H \in Oy \Rightarrow H\left( {0;h} \right)\).

Ta có: \(H{A^2} = {\left( {h - m + 1} \right)^2} = 1\)

\(H{B^2} = m + {\left( {h + {m^2} - m + 1} \right)^2} = 1\)

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow m + {\left( {h - m + 1} \right)^2} + {m^4} + 2{m^2}\left( {h - m + 1} \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m + 1 + {m^4} + 2{m^2} = 1 \hfill \cr m + 1 + {m^4} - 2{m^2} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {m^4} + 2{m^2} + m = 0 \hfill \cr {m^4} - 2{m^2} + m = 0 \hfill \cr} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{m > 0} \left[ \matrix{ m = 1 = a \hfill \cr m = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2} = b \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow T = {a^2} + 2{b^2} = 1 + 2{\left( {{{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^2} = 4 - \sqrt 5 \cr} \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.