Tồn tại duy nhất giá trị \(m = k\) để đường cong \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} - m + 1} \right){x^2} + m

Câu hỏi số 247239:

Vận dụng

Tồn tại duy nhất giá trị \(m = k\) để đường cong \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} - m + 1} \right){x^2} + m - 1\) có ba điểm cực trị phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(0 < k < 1\)

B. \(2 < k < 3\)

C. \(k > 4\)

D. \(k = 3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247239

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực tiểu B, C của đồ thị hàm số, lưu ý \({y_B} = {y_C}\).

+) Tính BC và tìm GTNN của BC.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4\left( {{m^2} - m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} = {m^2} - m + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \) phương trình luôn có 3 nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow \) Hàm số có 3 điểm cực trị với mọi m.

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = \sqrt {{m^2} - m + 1} \hfill \cr x = - \sqrt {{m^2} - m + 1} \hfill \cr} \right. \Rightarrow B\left( {\sqrt {{m^2} - m + 1} ;{y_B}} \right);\,\,C\left( { - \sqrt {{m^2} - m + 1} ;{y_C}} \right)\) là hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số với \({y_B} = {y_C}\).

\(BC = 2\sqrt {{m^2} - m + 1} = 2\sqrt {{{\left( {m - {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \ge 2.{{\sqrt 3 } \over 2} = \sqrt 3 \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m = {1 \over 2} \Rightarrow k = {1 \over 2} \in \left( {0;1} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.