Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A(10;\,\,6;\,\,-2),\) \(B(5;\,\,10;\,\,-9)\) và mặt phẳng \((\alpha

Câu hỏi số 248921:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A(10;\,\,6;\,\,-2),\) \(B(5;\,\,10;\,\,-9)\) và mặt phẳng \((\alpha ):2x+2y+z-12=0.\) Điểm \(M\) di động trên mặt phẳng \((\alpha )\) sao cho \(MA,\,\,MB\) luôn tạo với \((\alpha )\) các góc bằng nhau. Biết rằng \(M\) luôn thuộc một đường tròn \((\omega )\) cố định. Hoành độ của tâm đường tròn \((\omega )\) bằng

A. \(\frac{9}{2}.\)

B. 2

C. 10

D. -4

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:248921

Phương pháp giải

+) Gọi \(M\left( x;y;z \right)\Rightarrow \) tọa độ các vector \(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\).

+) Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(\left( \alpha \right),\) có \(\widehat{AMH}=\widehat{BMK}.\)

+) Tính sin các góc \(\widehat{AMH};\widehat{BMK}\) và suy ra đẳng thức. Tìm quỹ tích điểm M là một đường tròn.

+) Tìm tâm của đường tròn quỹ tích đó.

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( x;y;z \right)\)\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow{AM}=\left( x-10;y-6;z+2 \right);\,\,\overrightarrow{BM}=\left( x-5;y-10;z+9 \right)\)

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(\left( \alpha \right),\) có \(\widehat{AMH}=\widehat{BMK}.\)

\(AH=d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.10+2.6-2-12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6;\,\,BK=d\left( B;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.5+2.10-9-12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3\)

Khi đó \(\left\{ \begin{align} & \sin \widehat{AMH}=\frac{AH}{MA} \\ & \sin \widehat{BMK}=\frac{BK}{MB} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{AH}{MA}=\frac{BK}{MB}\Rightarrow MA=2\,MB\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}.\)

Suy ra \({{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\left( {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}+{{\left( z+9 \right)}^{2}} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{20}{3}x-\frac{68}{3}y+\frac{68}{3}z+228=0\Leftrightarrow \left( S \right):{{\left( x-\frac{10}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{34}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{34}{3} \right)}^{2}}=40\) có tâm \(I\left( \frac{10}{3};\frac{34}{3};\frac{-34}{3} \right)\)

Vậy \(M\in \left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( S \right)\Rightarrow \) Tâm K của \(\left( C \right)\) là hình chiếu của \(I\left( \frac{10}{3};\frac{34}{3};\frac{-34}{3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua I à vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(\left\{ \begin{align} & x=\frac{10}{3}+2t \\ & y=\frac{34}{3}+2t \\ & z=-\frac{34}{3}+t \\ \end{align} \right.\)\(\begin{align} & \Rightarrow K\left( \frac{10}{3}+2t;\frac{34}{3}+2t;-\frac{34}{3}+t \right),\,\,K\in \left( \alpha \right)\Rightarrow 2\left( \frac{10}{3}+2t \right)+2\left( \frac{34}{3}+2t \right)+\left( -\frac{34}{3}+t \right)-12=0 \\ & \Leftrightarrow 9t+6=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}\Rightarrow K\left( 2;10;-12 \right)\Rightarrow {{x}_{K}}=2 \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.