Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):2x+y-2z-2=0,\) đường thẳng

Câu hỏi số 248922:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):2x+y-2z-2=0,\) đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{2}\) và điểm \(A\left( \frac{1}{2};\,\,1;\,\,1 \right).\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((\alpha ),\) song song với \(d\) đồng thời cách \(d\) một khoảng bằng \(3.\) Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt phẳng \((Oxy)\) tại điểm \(B.\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng

A. \(\frac{7}{3}.\)

B. \(\frac{7}{2}.\)

C. \(\frac{\sqrt{21}}{2}.\)

D. \(\frac{3}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:248922

Phương pháp giải

+) Kiểm tra \(d\subset \left( \alpha \right)\)

+) Gọi \(B=\Delta \cap \left( Oxy \right)\Rightarrow B\left( a;b;0 \right)\Rightarrow B\in \left( \alpha \right),\) thay tọa độ điểm B vào phương trình \(\left( \alpha \right)\Rightarrow \) 1 phương trình 2 ẩn a, b.

+) \(d//\Delta \Rightarrow d\left( \left( d \right);\left( \Delta \right) \right)=d\left( B;\left( d \right) \right)=3.\) Sử dụng công thức tính khoảng cách \(d\left( B;\left( d \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{BM};{{{\vec{u}}}_{d}} \right] \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{d}} \right|}\) , lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.

+) Giải hệ phương trình tìm a, b \(\Rightarrow \) Tọa độ điểm B \(\Rightarrow \) Độ dài AB.

Giải chi tiết

Dễ thấy \(d//\left( \alpha \right)\) và \(\left( -\,1;-\,2;-\,3 \right)\in \left( \alpha \right)\)\(\Rightarrow \,\,d\subset \left( \alpha \right).\)

Ta có \(B=\Delta \cap \left( Oxy \right)\Rightarrow B\left( a;b;0 \right)\) mà \(B\in \Delta \subset \left( \alpha \right)\)\(\Rightarrow \,\,2a+b-2=0\Rightarrow b=2-2a\)

Lại có \(d\)//\(\Delta \)\(\Rightarrow \,\,d\left( \left( d \right);\left( \Delta \right) \right)=d\left( B;\left( d \right) \right)=3.\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( 0;0;-\,1 \right),\) có \({{\vec{u}}_{d}}=\left( 1;2;2 \right).\)

\(\overrightarrow{BM}=\left( -a;-b;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BM};\overrightarrow{u} \right]=\left( -2b+2;-1+2a;-2a+b \right)\)

Do đó

\(\begin{array}{l}
d\left( {B;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ;{{\vec u}_d}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2a} \right)}^2} + {{\left( {2a - b} \right)}^2}} }}{3} = 3\\
\Leftrightarrow {\left( {2b - 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {2a - b} \right)^2} = 81 \Leftrightarrow {\left( {2 - 4a} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {4a - 2} \right)^2} = 81\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - 2a} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - 2a = 3\\
1 - 2a = - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
a = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = 4
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 1;4;0} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = - 2
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 2;0} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(AB=\frac{7}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.