Xét các số thực x, y thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}>1\) và \({{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\left( 2x+3y

Câu hỏi số 249326:

Vận dụng cao

Xét các số thực x, y thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}>1\) và \({{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\left( 2x+3y \right)\ge 1\). Giá trị lớn nhất \({{P}_{\max }}\) cửa biểu thức \(P=2x+y\) bằng:

A. \({{P}_{\max }}=\frac{7-\sqrt{10}}{2}\)

B. \({{P}_{\max }}=\frac{19+9\sqrt{11}}{2}\)

C. \({{P}_{\max }}=\frac{7+\sqrt{65}}{2}\)

D. \({{P}_{\max }}=\frac{11+10\sqrt{2}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:249326

Phương pháp giải

Dựa vào giả thiết, đánh giá đưa về tổng các bình phương, từ biểu thức P đưa về hạng tử trong tổng bình phương và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trị lớn nhất

Giải chi tiết

Vì \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}>1\) suy ra \(y={{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên tập xác định.

Khi đó \({{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\left( 2x+3y \right)\ge {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow 2x+3y\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-3y\le 0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+\left( {{y}^{2}}-2.y.\frac{3}{2}+\frac{9}{4} \right)\le \frac{13}{4}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}\le \frac{13}{4}\)

Xét biểu thức \(P\), ta có \(P=2x+y=2\left( x-1 \right)+y-\frac{3}{2}+\frac{7}{2}\Leftrightarrow 2\left( x-1 \right)+y-\frac{3}{2}=P-\frac{7}{2}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có \({{\left[ 2\left( x-1 \right)+y-\frac{3}{2} \right]}^{\,2}}\le \left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right).\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}} \right]=\frac{65}{4}.\)

\(\Leftrightarrow \,\,{{\left( P-\frac{7}{2} \right)}^{2}}\le \frac{65}{4}\Leftrightarrow \,\,\frac{7-\sqrt{65}}{2}\le P\le \frac{7+\sqrt{65}}{2}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left\{ \begin{align} & {{P}_{\min }}=\frac{7-\sqrt{65}}{2} \\ & {{P}_{\max }}=\frac{7+\sqrt{65}}{2} \\ \end{align} \right..\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.