Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}.\) Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị

Câu hỏi số 250218:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}.\) Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất biểu thức \(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}.\)

\(2\sqrt{314}.\)

\(\sqrt{1258}.\)

\(3\sqrt{137}.\)

D. \(2\sqrt{309}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250218

Phương pháp giải

Đặt \(z=x+yi,\) dựa vào giả thiết và biểu thức P đưa về tìm max – min của biểu thức chứa hai biến, sử dụng lượng giác hóa và bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm max – min

Giải chi tiết

Đặt \(z=x+yi\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) suy ra tập hợp các điểm \(M\left( z \right)=\left( x;y \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( 3;4 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}.\) Ta có \(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left| x+2+yi \right|}^{2}}-{{\left| x+\left( y-1 \right)i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}\)

\(={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=4x+2y+3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left( \Delta \right):4x+2y+3-P=0.\,\)

Ta cần tìm \(P\) sao cho đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có điểm chung \(\Leftrightarrow \)\(d\left( I;\left( \Delta \right) \right)\le R.\)

\(\Leftrightarrow \frac{\left| 4.3+2.4+3-P \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-P \right|\le 10\Leftrightarrow -\,10\le 23-P\le 10\Leftrightarrow 13\le P\le 33.\)

Do đó, \(\left\{ \begin{align} \max P=33 \\ \min P=13 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,w=M+mi=33+13i.\) Vậy \(\left| w \right|=\sqrt{1258}.\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.