Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\). M và N là hai điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của

Câu hỏi số 250995:

Vận dụng

Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\). M và N là hai điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

B. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

C. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận.

D. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250995

Phương pháp giải

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau \(\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{M}} \right)=y'\left( {{x}_{N}} \right)\,\,\,\left( {{x}_{M}}\ne {{x}_{N}} \right)\)

Giải chi tiết

\(y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}\,\,\left( x\ne 1 \right)\Rightarrow y'=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

Gọi \(M\left( {{x}_{M}};1+\frac{2}{{{x}_{M}}-1} \right);\,\,N\left( {{x}_{M}};1+\frac{2}{{{x}_{N}}-1} \right)\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau \(\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{M}} \right)=y'\left( {{x}_{N}} \right)\,\,\,\left( {{x}_{M}}\ne {{x}_{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_M} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_N} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 1} \right)^2} = {\left( {{x_N} - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_M} = {x_N}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\
{x_M} - 1 = 1 - {x_N}\,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_M} + {x_N} = 2\\
{y_M} + {y_N} = 1 + \frac{2}{{{x_M} - 1}} + 1 + \frac{2}{{{x_N} - 1}} = 2 + 2.\frac{{{x_M} - 1 + {x_N} - 1}}{{\left( {{x_M} - 1} \right)\left( {{x_N} - 1} \right)}} = 2.
\end{array}\)

Gọi I là trung điểm của MN ta có: \(I\left( 1;1 \right)\).

Dễ thấy đồ thị hàm số có TCN là \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=1\Rightarrow I\left( 1;1 \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận \(\Rightarrow C\) đúng.

TCN \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=1\) rõ ràng đi qua trung điểm I của đoạn MN \(\Rightarrow B,D\) đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.