Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu \({{a}^{2014}}+{{b}^{2015}}+{{c}^{2016}}\) chia hết cho

Câu hỏi số 251326:

Vận dụng cao

Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu \({{a}^{2014}}+{{b}^{2015}}+{{c}^{2016}}\) chia hết cho 6 thì \({{a}^{2016}}+{{b}^{2017}}+{{c}^{2018}}\) chia hết cho 6.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251326

Phương pháp giải

+) Sử dụng tính đồng dư để làm bài toán, \(a\equiv b\,\,\left( \bmod n \right)\Leftrightarrow \left( a-b \right)\,\,\vdots \,\,n\)

Giải chi tiết

+) Nếu \(a\ \vdots \ 2\) thì \({{a}^{2014}}\ \vdots \ 2\) và \({{a}^{2016}}\ \vdots \ 2\).

+) Nếu a chia 2 dư 1 thì \({{a}^{2014}}\) chia 2 dư 1 và \({{a}^{2016}}\) chia 2 dư 1.

Do đó trong mọi trường hợp ta luôn có \({{a}^{2014}}\equiv {{a}^{2016}}\ \left( \bmod \ 2 \right).\)

Tương tự ta có \({{b}^{2017}}\equiv {{b}^{2015}}\ \ \left( \bmod \ 2 \right)\) và \({{c}^{2018}}\equiv {{c}^{2016}}\ \ \left( \bmod \ 2 \right).\)

+) Nếu \(a\equiv 0\ \ \left( \bmod \ 3 \right)\) thì \({{a}^{2016}}\equiv {{a}^{2014}}\equiv 0\ \ \left( \bmod \ 3 \right).\)

+) Nếu \(a\equiv \pm 1\ \ \left( \bmod \ \ 3 \right)\) thì \({{a}^{2}}\equiv 1\ \ \left( \bmod \ \ 3 \right)\Rightarrow {{a}^{2016}}={{a}^{2}}.{{a}^{2014}}\equiv {{a}^{2014\ }}\left( \bmod \ \ 3 \right).\)

+) Nếu \(a\equiv \pm 2\,\,\left( \bmod 3 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}\equiv 1\,\,\left( \bmod 3 \right)\Rightarrow {{a}^{2016}}={{a}^{2}}.{{a}^{2014}}\equiv {{a}^{2014\ }}\left( \bmod \ \ 3 \right).\)

Do đó trong mọi trường hợp ta luôn có \({{a}^{2016}}\equiv {{a}^{2014}}\ \left( \bmod \ \ 3 \right);\ \ {{b}^{2017}}\equiv {{b}^{2015}}\ \ \left( \bmod \ \ 3 \right)\) và \({{c}^{2018}}\equiv {{c}^{2016}}\ \ \left( \bmod 3 \right).\)

Vậy\({a^{2014}} + {b^{2015}} + {c^{2016}} \vdots 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^{2014}} + {b^{2015}} + {c^{2016}} \vdots 2\\
{a^{2014}} + {b^{2015}} + {c^{2016}} \vdots 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}} \vdots 2\\
{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}} \vdots 3
\end{array} \right. \Rightarrow {a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}} \vdots 6\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link