Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có \(AB=2a\), \(BC=2a\), \(\widehat{ABC}={{120}^{0}}\). Hình chiếu vuông góc

Câu hỏi số 252581:

Vận dụng

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có \(AB=2a\), \(BC=2a\), \(\widehat{ABC}={{120}^{0}}\). Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) trung với điểm của A’B’. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (A’B’C’) bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC). Khi đó, \(\tan \alpha \) có giá trị là:

A. \(\sqrt{21}\).

B. \(2\sqrt{2}\).

C. \(\frac{\sqrt{21}}{2}\).

D. \(2\sqrt{21}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252581

Phương pháp giải

Cho hai mặt phẳng (

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của A’B’ \(\Rightarrow AH\bot (A'B'C')\)

Kẻ \(HJ,A'K'\bot B'C',\,\,(J,K'\in B'C')\,\,\), \(AK\bot BC,\,\,\left( K\in BC \right)\)

\(HJ//A'K',\,\,A'K'//AK\Rightarrow HJ//AK\Rightarrow H,J,A,K\) đồng phẳng.

Vì \(\left\{ \begin{align} B'C'\bot HJ \\ B'C'\bot AH \\ \end{align} \right.\Rightarrow B'C'\bot (AKJH)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} (A'B'C')\cap (BCC'B')=B'C' \\ B'C'\bot (AKJH) \\ (AKJH)\cap (A'B'C')=HJ \\ (AKJH)\cap (BCC'B')=KJ \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \widehat{\left( (BCC'B');(A'B'C') \right)}=\left( \widehat{KJ;HJ} \right)\)

\(\widehat{A'B'K'}={{180}^{0}}-{{120}^{0}}={{60}^{0}}\)

\(\begin{align} \Rightarrow A'K'=A'B'.\sin {{60}^{0}}=2a.\frac{1}{2}=a=AK \\ \Rightarrow HJ=\frac{A'K'}{2}=\frac{a}{2} \\\end{align}\)

Xét \(\Delta B'HC'\): \(HC'=\sqrt{B'{{H}^{2}}+B'C{{'}^{2}}-2.B'H.B'C'.\cos \widehat{B'}}\)

\(=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2a)}^{2}}-2.a.2a.\cos {{120}^{0}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2a)}^{2}}-2.a.2a.\frac{-1}{2}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}\)

\(\Delta AHC'\) vuông tại H \(\Rightarrow AH=HC.\tan \widehat{C'}=HC.\tan \left( \widehat{AC';(A'B'C')} \right)\) ( vì\(AH\bot (A'B'C')\))\(=\)\(a\sqrt{7}.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{21}\)

Xét hình thang vuông AKJH: \(AK=A'K'=a\), \(HJ=\frac{a}{2}\), \(AH=a\sqrt{21}\)

Kẻ \(JS\bot AK\Rightarrow SJ=AH=a\sqrt{21},\,\,\,SA=HJ=\frac{a}{2}\Rightarrow SK=\frac{a}{2}\)

\(\tan \widehat{SKJ}=\frac{SJ}{SK}=\frac{a\sqrt{21}}{\frac{a}{2}}=2\sqrt{21}\)

Vì AK // HJ \(\Rightarrow \tan \widehat{HJ;KJ}=2\sqrt{21}\)\(\Rightarrow \tan \alpha =2\sqrt{21}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.