1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}& 3x+y=10 \\ & 2x-3y=3 \\\end{align} \right.\) 2) Cho

Câu hỏi số 253172:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}& 3x+y=10 \\ & 2x-3y=3 \\\end{align} \right.\)

2) Cho biểu thức \(B=\left( \frac{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+3}{1-\sqrt{x}} \right).\frac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}\) (với \(x\ge 0,x\ne 1\) và \(x\ne \frac{1}{4}\))

Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(B<0\).

3) Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( 2m+5 \right)x+2m+1=0\,\,\,\left( 1 \right)\) , với x là ẩn, m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi \(m=-\frac{1}{2}\)

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt sao cho biểu thức \(P=\left| \sqrt{{{x}_{1}}}-\sqrt{{{x}_{2}}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất

A. 1) \((3; 1)\) 2) \(0\le x<\frac{1}{4}\)

3) a) \(x = 0, \, \, x = 4\) b) \(m=0\)

B. 1) \((2; 1) \) 2) \(0\le x<\frac{3}{4}\)

3) a) \( x = 1,\, \, x = 4\) b) \(m=0\)

C. 1) \( (3; 2)\) 2) \(-1\le x<\frac{1}{4}\)

3) a) \( x = 0, \,x = 4\) b) \(m=7\)

D. 1) \((3; 1)\) 2) \(0\le x<\frac{5}{4}\)

3) a) \(x = 8, \,x = 2 \) b) \(m=0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:253172

Phương pháp giải

1) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

2) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi sau đó rút gọn biểu thức.

+) Sử dụng kết quả đã rút gọn, giải bất phương trình \(B<0.\)

+) Kết hợp với điều kiện của đề bài và kết luận nghiệm.

3) a) Thay giá trị cho trước của m để giải phương trình bậc hai ẩn x.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt: \(\left\{ \begin{align} & \Delta >0 \\ & -\frac{b}{a}>0 \\ & \frac{c}{a}>0 \\ \end{align} \right..\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\) và biến đổi biểu thức P để tìm GTNN của biểu thức P.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}
3x + y = 10\\
2x - 3y = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9x + 3y = 30\\
2x - 3y = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
11x = 33\\
y = 10 - 3x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 1
\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3; 1)

2. Điều kiện: \(x\ge 0;\ x\ne 1;\ x\ne \frac{1}{4}.\)

\(\begin{array}{l}
B = \left( {\frac{{x\sqrt x + x + \sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{1 - \sqrt x }}} \right).\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt x - 1}}\\
\;\;\; = \left( {\frac{{\sqrt x \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2x + 2\sqrt x - \sqrt x - 1}}\\
\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\
\;\;\; = \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x - 1}}.\\
\Rightarrow B < 0 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x - 1}} < 0.
\end{array}\)

Vì \(2\sqrt{x}+3>0\) nên \(2\sqrt{x}-1<0\Leftrightarrow 2\sqrt{x}<1\Leftrightarrow \sqrt{x}<\frac{1}{2}\Leftrightarrow 0\le x<\frac{1}{4}\)

Vậy khi \(0\le x<\frac{1}{4}\) thì \(B<0\).

3. \({{x}^{2}}-\left( 2m+5 \right)x+2m+1=0\,\,\,\left( 1 \right)\)

a) Khi \(m=-\frac{1}{2}\) thì phương trình (1) trở thành \({{x}^{2}}-4x=0\Leftrightarrow x\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 4.

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt thì

\(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2m + 5} \right)^2} - 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\
2m + 5 > 0\\
2m + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{m^2} + 12m + 21 > 0\\
m > - \frac{5}{2}\\
m > - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4\left( {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} + 3} \right) > 0\\
m > - \frac{5}{2}\\
m > - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

Suy ra \(m>-\frac{1}{2}\)

Khi đó \(P=\left| \sqrt{{{x}_{1}}}-\sqrt{{{x}_{2}}} \right|\Rightarrow {{P}^{2}}={{\left( \left| \sqrt{{{x}_{1}}}-\sqrt{{{x}_{2}}} \right| \right)}^{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\)

Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+5 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+1 \\ \end{align} \right.\)

Suy ra \({{P}^{2}}=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)

Đặt \(t=\sqrt{2m+1}\ge 0\Rightarrow 2m+5=2m+1+4={{t}^{2}}+4\)

\(\Rightarrow {{P}^{2}}={{t}^{2}}+4-2t={{\left( t-1 \right)}^{2}}+3\ge 3\)

Dấu “=” xảy ra khi \(t=1\Leftrightarrow \sqrt{2m+1}=1\Leftrightarrow 2m+1=1\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(P_{\min }^{2}=3\Rightarrow {{P}_{\min }}=\sqrt{3}\)(vì P > 0)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link