Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm O bán kính R. Hai đường cao AE và BK

Câu hỏi số 253174:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm O bán kính R. Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC cắt nhau tại H (với E thuộc BC, K thuốc AC)

1) Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp được một đường tròn.

2) Chứng minh \(CE.CB=CK.CA\)

3) Chứng minh \(\widehat{OCA}=\widehat{BAE}\)

4) Cho B, C cố định và A di động trên (C) nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện tam giác ABC nhọn; khi đó H thuộc một đường tròn (T) cố định. Xác định tâm I và tính bán kinh r của đường tròn (T), biết \(R=3\,cm\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:253174

Phương pháp giải

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng. Suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

+) Sử dụng các tính chất góc nội tiếp, tam giác cân…. suy ra các góc bằng nhau cần chứng minh.

Giải chi tiết

1. Xét tứ giác ABEK có \(\widehat{AEB}=\widehat{AKB}={{90}^{0}}\) ⇒ tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn đường kính AB.

2. Vì tứ giác ABEK nội tiếp nên \(\widehat{ABC}=\widehat{EKC}\) (cùng bù với \(\widehat{AKE}\))

Xét tam giác CAB và CEK có \(\widehat{ACB}\) chung, \(\widehat{ABC}=\widehat{EKC}\)(cmt)

\(\Rightarrow \Delta CAB\sim \Delta CEK\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CK}\) (các cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow CE.CB=CK.CA\)

3. Kẻ OD ⊥ Ac tại D

Ta có \(\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}\)(góc nội tiếp và góc ở tam cùng chắn cung AC)

\(\Delta OAC\) cân tại O nên đường cao OD đồng thời là phân giác

\(\Rightarrow \widehat{AOD}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}\)

Suy ra \(\widehat{AOD}=\widehat{ABC}\)

Xét tam giác ABE và ADO có \(\widehat{AEB}=\widehat{ADO}={{90}^{0}}\) , \(\widehat{AOD}=\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta ADO\left( g.g \right)\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{OAD}\)

Mà \(\widehat{OAD}=\widehat{OCA}\)(tam giác OAC cân tại O)

\(\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{BAE}\)

4. Ta có \(\widehat{HBC}=\widehat{FAC}\) (cùng phụ với \(\widehat{AHK}\))

Mà \(\widehat{FAC}=\widehat{FBC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung FC)

Suy ra\(\widehat{HBC}=\widehat{FBC}\).

Do đó tam giác BHF cân tại B (đường cao đồng thời là phân giác) nên BE là trung trực của HF.

Tương tự ta chứng minh được CE là trung trực của HF

⇒ BC là trung trực của HF hay H và F đối xứng nhau qua BC

⇒ Khi A chạy trên đường tròn sao cho tam giác ABC luôn là tam giác nhọn thì F chạy trên cung nhỏ BC

Mà H đối xứng F qua BC nên H chạy trên một cung tròn đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn (O) qua BC. Đường tròn đó có tâm I đối xứng O qua BC.

Suy ra \(r=R=3\,cm\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link