Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a, SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a, SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.CMN.\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác CMN và SMN.
+) Dựng trục của hai mặt phẳng (CMN) và (SMN), giao điểm của hai trục chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.
Gọi H là trung điểm của AB ta có \(SH\bot \left( ABCD \right)\).
Gọi F là trung điểm của MN, \(\Delta CMN\) vuông tại C nên F là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CMN\)
Qua F kẻ \({{d}_{1}}//SH\Rightarrow {{d}_{1}}\bot \left( ABCD \right)\)
Ta có:
\(\begin{align} HN=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SN=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2} \\ MN=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2} \\ SM=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2} \\ \Rightarrow S{{N}^{2}}+M{{N}^{2}}=S{{M}^{2}} \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \Delta SMN\) vuông tại N.
Gọi E là trun điểm của SM, qua E kẻ \({{d}_{2}}\bot \left( SMN \right)\) sao cho \({{d}_{2}}\cap {{d}_{1}}=I\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.
Dễ thấy \(\Delta HMN\) vuông cân tại N
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot HN\\MN \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow MN \bot SN\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SMN} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;HN} \right)} = \widehat {SNH}\end{array}\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} {{d}_{1}}\bot \left( ABCD \right) \\ {{d}_{2}}\bot \left( SMN \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}=\widehat{\left( \left( SMN\right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SNH}=\widehat{EIF}<{{90}^{0}}\)
Ta có : \(\tan \widehat{SNH}=\frac{SH}{SN}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\tan \widehat{EIF}\)
Có \(EI\bot \left( SMN \right)\Rightarrow EI\bot EF\Leftrightarrow \Delta EIF\)vuông tại E \(\Rightarrow IE=\frac{EF}{\tan \widehat{EIF}}=\frac{SN}{2\tan \widehat{EIF}}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{30}}{12}\)
Xét tam giác vuông SIE có \(IS=\sqrt{I{{E}^{2}}+S{{E}^{2}}}=\sqrt{I{{E}^{2}}+\frac{S{{M}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{93}}{12}=R\)
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
