Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m.\) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

Câu hỏi số 254614:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m.\) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \(\left( m\le 2018 \right)\) để với mọi bộ ba số phân biệt \(a,b,c\in \left[ 1;3 \right]\) thì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

2011.

2012.

C. 2010.

D. 2018.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254614

Phương pháp giải

Xét hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) .

Sử dụng điều kiện để \(f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( c \right)\) là ba cạnh của tam giác (BĐT tam giác).

Dựa vào GTLN và GTNN của hàm số \(g\left( x \right)\) để tìm điều kiện của m.

Giải chi tiết

Đặt \(g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) ta có \(g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\ x=2 \\ \end{align} \right.\)

BBT :

\(\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=-4;\,\,\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=0\)

\(\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-4+m\)

Với mọi a, b, c ta có \(f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( c \right)>0\,\,\forall a;b;c\in \left[ 1;3 \right]\Rightarrow -m+4>0\Leftrightarrow m>4\)

Theo yêu cầu của bài toán ta có :

\(\left[ \begin{array}{l}g\left( a \right) + g\left( b \right) + m > g\left( c \right)\\g\left( b \right) + g\left( c \right) + m > g\left( a \right)\\g\left( a \right) + g\left( c \right) + m > g\left( b \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > g\left( c \right) - \left[ {g\left( a \right) + g\left( b \right)} \right]\\m > g\left( a \right) - \left[ {g\left( b \right) + g\left( c \right)} \right]\\m > g\left( b \right) - \left[ {g\left( a \right) + g\left( c \right)} \right]\end{array} \right.\)

Vì a, b, c đóng vai trò như nhau nên ta có thể nói \(m>g\left( a \right)-\left[ g\left( b \right)+g\left( c \right) \right]\,\,\,\forall a,b,c\in \left[ 1;3 \right]\)

Theo giả thiết a, b, c phân biệt \(\Rightarrow m\ge \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)-2\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=0-2.4=8\)

Kết hợp điều kiện đề bài cho ta có \(8\le m\le 2018\Rightarrow \) Có 2011 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.