Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác nhọn ABC có \(H(2;2;1),\,\,K\left(

Câu hỏi số 254989:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác nhọn ABC có \(H(2;2;1),\,\,K\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)\), \(O\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên các cạnh BC, AC, AB. Đương thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

\(d:\frac{x+\frac{4}{9}}{1}=\frac{y-\frac{17}{9}}{-2}=\frac{z-\frac{19}{9}}{2}\).

\(d:\frac{x-\frac{8}{3}}{1}=\frac{y-\frac{2}{3}}{-2}=\frac{z+\frac{2}{3}}{2}\).

\(d:\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-2}=\frac{z-6}{2}\).

D. \(d:\frac{x+4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254989

Phương pháp giải

+) Tam giác ABC có các đường cao AM, BP, CN, trực tâm H thì H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP.

+) Công thức tính tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC: \(\left\{ \begin{align} {{x}_{I}}=\frac{BC.{{x}_{A}}+CA.{{x}_{B}}+AB.{{x}_{C}}}{BC+CA+AB} \\ {{y}_{I}}=\frac{BC.{{y}_{A}}+CA.{{y}_{B}}+AB.{{y}_{C}}}{BC+CA+AB} \\ {{z}_{I}}=\frac{BC.{{z}_{A}}+CA.{{z}_{B}}+AB.{{z}_{C}}}{BC+CA+AB} \\ \end{align} \right.\)

(Được xây dựng dựa vào đẳng thức: \(BC.\overrightarrow{IA}+CA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)) .

Giải chi tiết

\(H(2;2;1),\,\,K\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)\)

Tam giác ABC có các đường cao AH, BK, CO, trực tâm I

\(\Rightarrow I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK.

\(OK=4,\,\,HK=5;\,\,OH=3\)

Tọa độ điểm I:

\(\left\{ \begin{align}{{x}_{I}}=\frac{OK.{{x}_{H}}+OH.{{x}_{K}}+HK.{{x}_{O}}}{OK+OH+HK}=\frac{4.2+3.\frac{-8}{3}+5.0}{4+3+5}=0 \\ {{y}_{I}}=\frac{OK.{{y}_{H}}+OH.{{y}_{K}}+HK.{{y}_{O}}}{OK+OH+HK}=\frac{4.2+3.\frac{4}{3}+5.0}{4+3+5}=1 \\ {{z}_{I}}=\frac{OK.{{z}_{H}}+OH.{{z}_{K}}+HK.{{z}_{O}}}{OK+OH+HK}=\frac{4.1+3.\frac{8}{3}+5.0}{4+3+5}=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow I(0;1;1)\)

+) Viết phương trình đường thẳng IH:

\(\overrightarrow{IH}=\left( 2;1;0 \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng IH

Phương trình đường thẳng IH: \(\left\{ \begin{align} x=2t \\ y=1+t \\ z=1 \\ \end{align} \right.\)

+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)qua O và vuông góc OI (chứa AB)

\(\overrightarrow{OI}=\left( 0;1;1 \right)\)là một vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\)

\(\left( \alpha \right):\,\,0.(x-0)+1.(y-0)+1.(z-0)=0\Leftrightarrow y+z=0\)

+) Tìm tọa độ điểm \(A=IH\cap \left( \alpha \right)\)

\(A\in IH\Rightarrow \) Gọi \(A\left( 2t;1+t;1 \right)\).

\(A\in \left( \alpha \right)\Rightarrow 1+t+1=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow A\left( -4;-1;1 \right)\)

+) Gọi d là đường thẳng cần tìm. Khi đó, d có 1 VTCP \(\overrightarrow{u}=\frac{1}{4}.\left[ \overrightarrow{OH};\overrightarrow{OK} \right]=\left( 1;-2;2 \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d:\frac{x+4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{2}\)

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.