Số giá trị nguyên \(m<10\) để hàm số \(y=\ln \left( {{x}^{2}}+mx+1 \right)\) đồng biến trên

Câu hỏi số 255251:

Vận dụng

Số giá trị nguyên \(m<10\) để hàm số \(y=\ln \left( {{x}^{2}}+mx+1 \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\) là :

A. 10

B. 11

C. 8

D. 9

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255251

Phương pháp giải

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\Rightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\)

Giải chi tiết

ĐK: \({{x}^{2}}+mx+1>0\).

Ta có \(y'=\frac{2x+m}{{{x}^{2}}+mx+1}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\Rightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2x+m\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}+mx+1>0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\) \(\begin{align} & \left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge -2x\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\ge 0 \\ & \left( 2 \right)\Leftrightarrow mx>-{{x}^{2}}-1\Leftrightarrow m>\frac{-{{x}^{2}}-1}{x}=f\left( x \right)\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right) \\ \end{align}\) Ta có \(f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=\frac{-{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=1\) \(\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=-2\Rightarrow m\ge -2\) Vậy \(m\ge 0\).

Khi m = 0 ta có \(y=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)\) có \(y'=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow m=0\) thỏa mãn.

Kết hợp điều kiện bài toán ta có \(m\in Z,\,\,0\le m<10\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;...;9 \right\}\Rightarrow \) Có 10 giá trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.