Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 255460:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0,\) \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}=\frac{\pi }{4}\) \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x.f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{\pi }{4}.\) Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\,\text{d}x}.\)

A. \(1.\)

B. \(\frac{\pi }{2}.\)

C. \(2.\)

D. \(\frac{\pi }{4}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255460

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Holder trong tích phân để tìm hàm số \({f}'\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}
u = f\left( x \right)\\
{\rm{d}}v = \sin x\,{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = f'\left( x \right)\,{\rm{d}}x\\
v = - \,\cos x
\end{array} \right.,\)

khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x.f\left( x \right)\,\text{d}x}=\left. -\,\cos x.f\left( x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}\) \(\Leftrightarrow \,\,\frac{\pi }{4}=-\,\cos \frac{\pi }{2}.f\left( \frac{\pi }{2} \right)+\cos 0.f\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}\Leftrightarrow \,\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{\pi }{4}.\)

Xét \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+k.\cos x \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}+2k.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}+{{k}^{2}}.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}x\,\text{d}x}=0\) \(\Leftrightarrow \,\,\frac{\pi }{4}+2k.\frac{\pi }{4}+{{k}^{2}}.\frac{\pi }{4}=0\Leftrightarrow \,\,k=-\,1.\)

Khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ {f}'\left( x \right)-\cos x \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}=0\Leftrightarrow \,\,{f}'\left( x \right)=\cos x.\)

Suy ra \(f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\cos x\,\text{d}x}=\sin x+C\) mà \(f\left( 0 \right)=0\Rightarrow \,\,C=0.\) Vậy \(f\left( x \right)=\sin x\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x\,\text{d}x}=1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.