Cho phương trình \({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (m là tham số) 1) Giải

Câu hỏi số 255604:

Vận dụng

Cho phương trình \({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (m là tham số)

1) Giải phương trình khi m = 2

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi m. Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)là hai nghiệm của phương trình (1), lập phương trình bậc hai nhận \(x_{1}^{3}-2mx_{1}^{2}+{{m}^{2}}{{x}_{1}}-2\) và \(x_{2}^{3}-2mx_{2}^{2}+{{m}^{2}}{{x}_{2}}-2\)là nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255604

Phương pháp giải

+) Thay giá trị m vào phương trình đã cho để giải phương trình bậc hai một ẩn.

+) Phương trình có hai nghiệm với mọi \(m\Leftrightarrow \Delta >0\ \forall m.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right..\)

Giải chi tiết

1) Khi m = 2 thì pt\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=3 \\ x=1 \\ \end{align} \right.\)

2) Ta có: \(\Delta '={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+1=2>0\)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

Khi đó theo Vi-et ta có \(\left\{ \begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1 \\ \end{align} \right.\)

Biến đổi phương trình

\({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x=x\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x-2=x-2\)

Khi đó \(x_{1}^{3}-2mx_{1}^{2}+{{m}^{2}}{{x}_{1}}-2={{x}_{1}}-2\)và \(x_{2}^{3}-2mx_{2}^{2}+{{m}^{2}}{{x}_{2}}-2={{x}_{2}}-2\)

Xét \(S=\left( {{x}_{1}}-2 \right)+\left( {{x}_{2}}-2 \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-4=2m-4\)

\(P=\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4={{m}^{2}}-1-2.2m+4={{m}^{2}}-4m+3\)

Xét \({{S}^{2}}-4P={{\left( 2m-4 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)=4>0\)

Vậy phương trình bậc hai cần tìm là \({{x}^{2}}-\left( 2m-4 \right)x+{{m}^{2}}-4m+3=0\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link