Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với dường tròn (A, B la hai tiếp

Câu hỏi số 255606:

Vận dụng

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với dường tròn (A, B la hai tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhỏ AB (C không trùng với A và B). Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB (\(D\in AB,\,\,E\in MA,\,\,F\in MB\)). Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng

1) Tứ giác ADCE nội tiếp một đường tròn

2) Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng

3) Tia đối của CD là tia phân giác góc \(\widehat{ECF}\)

4) Đường thẳng IK song song với đường AB

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255606

Phương pháp giải

+) Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

+) Áp dụng tính chất của các góc nội tiếp, góc ở tâm… để chứng minh các góc bằng nhau.

+) Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

Giải chi tiết

1) Xét tứ giác ADCE có \(\widehat{AEC}=\widehat{ADC}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{AEC}+\widehat{ADC}={{180}^{0}}\)

Vậy tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn đường kính DE

2) Tứ giác ADCE nội tiếp suy ra \(\widehat{EAC}=\widehat{EDC}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

\(\widehat{CAD}=\widehat{CED}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Tương tự ta chứng minh được tứ giác CDBF nội tiếp suy ra

\(\widehat{CBF}=\widehat{CDF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CF)

\(\widehat{CBD}=\widehat{CFD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Mà \(\widehat{EAC}=\widehat{CBD}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC) và \(\widehat{CAD}=\widehat{CBF}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Nên \(\widehat{EDC}=\widehat{CFD}\), \(\widehat{CED}=\widehat{CDF}\)

Vậy \(\Delta CDE\sim \Delta CED\left( g.g \right)\)

3) \(\Delta CDE\sim \Delta CED\Rightarrow \widehat{DCE}=\widehat{ECD}\Rightarrow \widehat{ECx}=\widehat{FCx}\). Vậy CD là tia phân giác của\(\widehat{ECD}\)

4) Tứ giác CIDK có:

\(\widehat{ICK}+\widehat{IDK}=\widehat{ICK}+\widehat{IDC}+\widehat{KDC}=\widehat{ICK}+\widehat{EAC}+\widehat{CBF}=\widehat{ICK}+\widehat{CBA}+\widehat{CAB}={{180}^{0}}\)

Nên tứ giác CIDK nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\) )

Suy ra \(\widehat{CIK}=\widehat{CDK}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CK)

Mà \(\widehat{CDK}=\widehat{CBF}=\widehat{CAB}\)nên \(\widehat{CIK}=\widehat{CAB}\). Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK // AB

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link