Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD

Câu hỏi số 257268:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Tính thể tích V của khối chóp S.BDM.

\(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}\) .

\(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\).

\(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}\).

D. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257268

Phương pháp giải

- Xác định chân đường cao của đỉnh S đến mặt phẳng đáy.

- Tính thể tích khối chóp : \(V=\frac{1}{3}Sh\)

Giải chi tiết

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Tam giác SAB đều, tam giác SCD cân tại S nên \(SI\bot AB,\,\,SJ\bot CD\)

Mà AB//CD \(\Rightarrow AB,\,\,CD\bot \left( SIJ \right)\)

Dựng \(SH\bot IJ,\,\,(H\in IJ)\Rightarrow SH\bot (ABCD)\) (do \(SH\bot IJ\) và \(SH\subset \left( SIJ \right)\bot CD\))

Trong (ABCD), kẻ \(BM\bot AH,\,\,\left( M\in CD,\,AH\cap BM=T \right)\). Khi đó, điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài.

+) \(\Delta SAB\)đều, cạnh a \(\Rightarrow SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

+) \(\Delta SCD\)vuông cân tại S, \(CD=a\Rightarrow SJ=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2}\)

+) ABCD là hình vuông cạnh a \(\Rightarrow IJ=a\)

Tam giac SIJ có: \(I{{J}^{2}}=S{{I}^{2}}+S{{J}^{2}}\Rightarrow \Delta SIJ\) vuông tại S.

Mà \(SH\bot IJ\Rightarrow S{{I}^{2}}=IH.IJ\Rightarrow {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=IH.a\Rightarrow IH=\frac{3a}{4}\)

Và \(\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{I}^{2}}}+\frac{1}{S{{J}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{16}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

Dễ dàng chứng minh \(\Delta AIH\) đồng dạng tam giác \(\Delta BCM\Rightarrow \frac{{{S}_{AIH}}}{{{S}_{BMC}}}={{\left( \frac{AI}{BC} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow {{S}_{BCM}}=4{{S}_{AIH}}=4.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{3a}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\)

\({{S}_{BDM}}={{S}_{BCM}}-{{S}_{BCD}}=\frac{3}{4}{{a}^{2}}-\frac{1}{2}{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}\)

Thể tích khối chóp S.BDM: \({{V}_{S.BDM}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{BDM}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{48}\)

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.