Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\), \(f(x)\) và \(f'(x)\) đều

Câu hỏi số 257269:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\), \(f(x)\) và \(f'(x)\) đều nhận giá trị dương trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) và thỏa mãn \(f(0)=2\), \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f'(x).{{\left[ f(x) \right]}^{2}}+1 \right]dx}=2\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{f'(x)}.f(x)dx}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x) \right]}^{3}}dx}\).

\(\frac{15}{4}\).

\(\frac{15}{2}\).

\(\frac{17}{2}\).

D. \(\frac{19}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257269

Phương pháp giải

\(\int{{{f}^{n}}(x).f'(x)dx=\frac{{{f}^{n+1}}(x)}{n+1}}+C,\,\,n\ne -1\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f'(x).{{\left[ f(x) \right]}^{2}}+1 \right]dx}=2\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{f'(x)}.f(x)dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ f'(x).{{\left[ f(x) \right]}^{2}}-2\sqrt{f'(x)}.f(x)+1 \right]dx}=0\)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ \sqrt{f'(x)}.f(x)-1 \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow \sqrt{f'(x)}.f(x)-1=0\Rightarrow {{f}^{2}}(x).f'(x)=1\), \(\forall x\in \left[ 0;1 \right]\)

(do \(f(x)\) và \(f'(x)\) đều nhận giá trị dương trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\))

\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(x).f'(x)dx}=\int\limits_{0}^{x}{1dx}\Rightarrow \left. \frac{{{f}^{3}}(x)}{3} \right|_{0}^{x}=x\Rightarrow \frac{{{f}^{3}}(x)}{3}-\frac{{{f}^{3}}(0)}{3}=x\)

Mà \(f(0)=2\Rightarrow {{f}^{3}}(x)=3x+8\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x) \right]}^{3}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3x+8 \right)dx=\frac{1}{3}.\left. \frac{{{(3x+8)}^{2}}}{2} \right|_{0}^{1}}=\frac{1}{3}\left( \frac{121}{2}-2 \right)=\frac{1}{3}.\frac{117}{2}=\frac{19}{2}\)

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.