Chóp đều \(S.ABCD\), \(H\) là tâm đáy, \(SH = AB = a\). \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \((P)\) qua

Câu hỏi số 257467:

Vận dụng cao

Chóp đều \(S.ABCD\), \(H\) là tâm đáy, \(SH = AB = a\). \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \((P)\) qua \(D\) và vuông góc với \(SB\). Tính \(d\left( G;\left( P \right) \right)?\)

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257467

Giải chi tiết

(Phương pháp giải được giới thiệu trong bài https://tuyensinh247.com/video-10-dung-hinh-giai-tich-giai-bai-toan-khong-gian-t1-it27683.html?topic_id=3067 thuộc chuyên đề: Mặt phẳng (Hình học giải tích)).

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Coi \(a = 1\) ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {1;0;0} \right),\,\,S\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right),\,\,D\left( {0;1;0} \right)\).

\(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB \Rightarrow G\left( {\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{6};\dfrac{{\sqrt 2 }}{6};\dfrac{1}{3}} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(D\) và vuông góc với \(SB\) nên nhận \(\overrightarrow {SB} = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - 1} \right)\) là 1 VTPT.

\( \Rightarrow Pt\,\,mp\left( P \right):\,\,\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {y - 1} \right) - z = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}y - z + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 0\).

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{6} - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{6} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{3} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{3 - \sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}\).

Vậy \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.