Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt AC tại Q,
Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt AC tại Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh \(MA.MB.MC\ge 8MP.MQ.MK\)
Quảng cáo
Chứng minh \(\frac{MA}{MP}.\frac{MB}{MQ}.\frac{MC}{MK}\ge 8\)
Sử dụng tỉ lệ diện tích tam giác và bất đẳng thức Cô-si.
Ta chứng minh \(\frac{MA}{MP}.\frac{MB}{MQ}.\frac{MC}{MK}\ge 8\). Đặt \({{S}_{1}}={{S}_{MBC}};\,\,{{S}_{2}}={{S}_{MAC}};\,\,{{S}_{3}}={{S}_{MAB}}\).
Ta có \(\frac{MA}{MP}=\frac{{{S}_{AMB}}}{{{S}_{PMB}}}=\frac{{{S}_{AMC}}}{{{S}_{PMC}}}=\frac{{{S}_{AMB}}+{{S}_{AMC}}}{{{S}_{PMB}}+{{S}_{PMC}}}=\frac{{{S}_{MAB}}+{{S}_{MAC}}}{{{S}_{MBC}}}=\frac{{{S}_{2}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{1}}}\)
Tương tự ta chứng minh được \(\frac{MB}{MQ}=\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{2}}};\,\,\frac{MC}{MK}=\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}}\) \(\begin{align} & \Rightarrow \frac{MA}{MP}.\frac{MB}{MQ}.\frac{MC}{MK}=\frac{{{S}_{2}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{1}}}.\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{2}}}.\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}} \\ & \Rightarrow {{\left( \frac{MA}{MP}.\frac{MB}{MQ}.\frac{MC}{MK} \right)}^{2}}={{\left( \frac{{{S}_{2}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{1}}}.\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{2}}}.\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}} \right)}^{2}}=\frac{{{S}_{2}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{1}}}.\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{2}}}.\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}}.\frac{{{S}_{2}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{1}}}.\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{3}}}{{{S}_{2}}}.\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}} \\ & \Rightarrow {{\left( \frac{MA}{MP}.\frac{MB}{MQ}.\frac{MC}{MK} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right)}^{2}}}{{{S}_{1}}{{S}_{2}}}.\frac{{{\left( {{S}_{2}}+{{S}_{3}} \right)}^{2}}}{{{S}_{2}}{{S}_{3}}}.\frac{{{\left( {{S}_{1}}+{{S}_{3}} \right)}^{2}}}{{{S}_{1}}{{S}_{3}}}\overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,\frac{{{\left( 2\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)}^{2}}}{{{S}_{1}}{{S}_{2}}}.\frac{{{\left( 2\sqrt{{{S}_{2}}{{S}_{3}}} \right)}^{2}}}{{{S}_{2}}{{S}_{3}}}.\frac{{{\left( 2\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{3}}} \right)}^{2}}}{{{S}_{1}}{{S}_{3}}}={{4}^{3}}=64 \\ & \Rightarrow \frac{MA}{MP}.\frac{MB}{MQ}.\frac{MC}{MK}\ge 8 \\ & \Rightarrow MA.MB.MC\ge 8MP.MQ.MK\,\,\left( dpcm \right) \\ \end{align}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
