Trong một lớp có \(n\) học sinh gồm ba bạn Chuyên, Hà, Tĩnh cùng \(n-3\) học sinh khác. Khi sắp

Câu hỏi số 258514:

Vận dụng cao

Trong một lớp có \(n\) học sinh gồm ba bạn Chuyên, Hà, Tĩnh cùng \(n-3\) học sinh khác. Khi sắp xếp tùy ý cho các học sinh này vào dãy ghế được đánh số từ \(1\) đến \(n\) mỗi học sinh ngồi \(1\) ghế thì xác suất để số ghế của Hà bằng trung bình cộng số ghế của Chuyên và số ghế của Tĩnh là \(\frac{13}{675}\). Khi đó giá trị \(n\) thỏa mãn

A. \(n\in \left[ 35;39 \right].\)

B. \(n\in \left[ 40;45 \right].\)

C. \(n\in \left[ 30;34 \right].\)

D. \(n\in \left[ 25;29 \right].\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258514

Phương pháp giải

Dựa vào các quy tắc đếm cơ bản để tìm xác suất và chia thành các trường hợp

Giải chi tiết

Số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right)=n!\).

Gọi \(A\) là biến cố “ số ghế của Hà bằng trung bình cộng số ghế của Chuyên và Tĩnh ” Số ghế của Hà bằng trung bình cộng số ghế của Chuyên và Tĩnh nên số ghế của Chuyên và Tĩnh phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

TH1: Với \(n=2m,\,\,\,m\in \mathbb{N},\,\,\,m\ge 2\).

- Chọn hai số chẵn hoặc hai số lẻ của Chuyên và Tĩnh có \(A_{m}^{2}+A_{m}^{2}=2.A_{m}^{2}\) cách

- Chọn số ghế cho Hà có \(1\) cách - Xếp \(n-3\) bạn còn lại có \(\left( n-3 \right)!=\left( 2m-3 \right)!\) cách

Số kết quả thuận lợi của \(A\) là \(n\left( A \right)=2.A_{2m}^{2}.\left( 2m-3 \right)!\)

Vậy xác suất \(P=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}\Leftrightarrow \frac{2.A_{2m}^{2}\left( 2m-3 \right)!}{\left( 2m \right)!}=\frac{13}{675}\Leftrightarrow \frac{2}{2m-2}=\frac{13}{675}\Leftrightarrow m=\frac{688}{13}\) (loại).

TH2: Với \(n=2m+1,\,\,\,m\in \mathbb{N},\,\,\,m\ge 1\).

- Chọn hai số chẵn hoặc hai số lẻ của Chuyên và Tĩnh có \(A_{m}^{2}+A_{m+1}^{2}=2{{m}^{2}}\) cách

-Chọn số ghế cho Hà có \(1\) cách

- Xếp \(n-3\) bạn còn lại có \(\left( n-3 \right)!=\left( 2m-2 \right)!\) cách Số kết quả thuận lợi của \(A\) là \(n\left( A \right)=2{{m}^{2}}.\left( 2m-2 \right)!\)

Vậy xác suất \(P=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}\Leftrightarrow \frac{2{{m}^{2}}\left( 2m-2 \right)!}{\left( 2m+1 \right)!}=\frac{13}{675}\Leftrightarrow \frac{m}{4{{m}^{2}}-1}=\frac{13}{675}\Rightarrow m=13\).

Vậy \(n=27\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.