a) Giải phương trình \(6{{\left( x-\frac{x}{x+1} \right)}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}-12x-12}{x+1}=0\) b) Cho a, b là

Câu hỏi số 258543:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \(6{{\left( x-\frac{x}{x+1} \right)}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}-12x-12}{x+1}=0\)

b) Cho a, b là hai số thực tùy ý sao cho phương trình \(4{{x}^{2}}+4ax-{{b}^{2}}+2=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{1+2b\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}{{{a}^{2}}}\).

A. a) \(S=\left\{ 2;-\frac{2}{3} \right\}\)

b) \({{P}_{\min }}=-2\).

B. a) \(S=\left\{ 3;-\frac{2}{3} \right\}\)

b) \({{P}_{\min }}=2\).

C. a) \(S=\left\{ -2;-\frac{2}{5} \right\}\)

b) \({{P}_{\min }}=-2\).

D. a) \(S=\left\{ 2;-\frac{2}{7} \right\}\)

b) \({{P}_{\min }}=-8\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258543

Phương pháp giải

a) +) Tìm ĐKXĐ.

+) Quy đồng, bỏ mẫu.

+) Đưa phương trình về dạng tích.

b) +) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+) Phân tích, sử dụng hằng đẳng thức để tìm GTNN của P.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
a)\,\,6{\left( {x - \frac{x}{{x + 1}}} \right)^2} + \frac{{{x^2} - 12x - 12}}{{x + 1}} = 0\,\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\
\Leftrightarrow 6{\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)^2} + \frac{{{x^2} - 12x - 12}}{{x + 1}} = 0\\
\Leftrightarrow 6\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {{x^2} - 12x - 12} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\
\Leftrightarrow 6{x^4} + {x^3} - 12{x^2} - 12x + {x^2} - 12x - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 6{x^4} + {x^3} - 11{x^2} - 24x - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 6{x^4} - 12{x^3} + 13{x^3} - 26{x^2} + 15{x^2} - 24x - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 6{x^3}\left( {x - 2} \right) + 13{x^2}\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right)\left( {5x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {6{x^3} + 13{x^2} + 15x + 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\
6{x^3} + 13{x^2} + 15x + 6 = 0\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải (1):

\(\begin{array}{l}
6{x^3} + 13{x^2} + 15x + 6 = 0 \Leftrightarrow 6{x^3} + 4{x^2} + 9{x^2} + 15x + 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {6{x^3} + 4{x^2}} \right) + \left( {9{x^2} + 9x + 6x + 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2}\left( {3x + 2} \right) + 9x\left( {x + 1} \right) + 6\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2}\left( {3x + 2} \right) + 3\left( {3x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {3x + 2} \right)\left( {2{x^2} + 3x + 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x + 2 = 0\\
2{x^2} + 3x + 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{2}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\\
2{x^2} + 3x + 3 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Xét phương trình \[2{{x}^{2}}+3x+3=0\] có \(\Delta ={{3}^{2}}-4.2.3=-15<0\Rightarrow \) phương trình vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S=\left\{ 2;-\frac{2}{3} \right\}\)

b) Phương trình \(4{{x}^{2}}+4ax-{{b}^{2}}+2=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\)

\(\Rightarrow \Delta '={{\left( 2a \right)}^{2}}-4\left( -{{b}^{2}}+2 \right)=4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-8>0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>2\)

Khi đó theo định lí Vi-et ta có \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{4a}{4}=-a \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-{{b}^{2}}+2}{4} \\ \end{align} \right.\)

Theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l}
P = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}{x_2} + \frac{{1 + 2b\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{a^2}}}\\
\;\;\; = {a^2} - 2\left( { - {b^2} + 2} \right) + \frac{{1 - 2ab}}{{{a^2}}}\\
\;\;\; = {a^2} + 2{b^2} - 4 + \frac{{1 - 2ab}}{{{a^2}}}\\
\;\; = {a^2} + {b^2} + {b^2} - 4 + \frac{1}{{{a^2}}} - \frac{{2b}}{a}\\
\;\; = \left( {{a^2} + {b^2} - 4} \right) + \left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{{2b}}{a} + {b^2}} \right)\\
\;\; = \left( {{a^2} + {b^2} - 4} \right) + {\left( {\frac{1}{a} - b} \right)^2}.\\
\Rightarrow P > - 2 + {\left( {\frac{1}{a} - b} \right)^2} \ge - 2
\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{1}{a}=b\Leftrightarrow ab=1\) và thỏa mãn \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>2\).

Vậy \({{P}_{\min }}=-2\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link