Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1; - 1;1} \right),\,\,B\left( {0;0;4}

Câu hỏi số 259062:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1; - 1;1} \right),\,\,B\left( {0;0;4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y + z - 1 = 0\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa 2 điểm A, B và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right);\,\,\left( Q \right)\) bằng \({60^0}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là :

A. \(2x + y - z + 4 = 0\) hoặc \(5x - 11y + 2z - 8 = 0\)

B. \(2x + 2y - z + 5 = 0\) hoặc \(5x - 3y - 2z + 8 = 0\)

C. \( - 2x - y + z - 4 = 0\) hoặc \(2x - 5y - 2z + 8 = 0\)

D. \(x + 2y - z + 4 = 0\) hoặc \( - 11x + 5y - 2z + 8 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259062

Phương pháp giải

Gọi \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

\(A;B \in \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {AB} = 0\)

\(\cos \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}};\overrightarrow n } \right)} \right| = {{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}.\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

\(A;B \in \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {AB} = 0\), ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;3} \right) \Rightarrow a + b + 3c = 0 \Rightarrow a = - b - 3c\)

Ta có \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;2;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right);\,\,\left( Q \right)\) bằng \({60^0}\) ta có

\(\eqalign{ & \cos \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}};\overrightarrow n } \right)} \right| = {{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}.\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr & \Leftrightarrow \cos {60^0} = {{\left| {a + 2b + c} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 4{\left( {a + 2b + c} \right)^2} = 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr & \Leftrightarrow 4{\left( { - b - 3c + 2b + c} \right)^2} = 6\left( {{{\left( { - b - 3c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr & \Leftrightarrow 4{\left( {b - 2c} \right)^2} = 6\left( {2{b^2} + 6bc + 10{c^2}} \right) \cr & \Leftrightarrow 4{b^2} - 16bc + 16{c^2} = 12{b^2} + 36bc + 60{c^2} \cr & \Leftrightarrow 8{b^2} + 52bc + 44{c^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ b = - c \hfill \cr b = - {{11} \over 2}c \hfill \cr} \right. \cr} \)

TH1 : \(b = - c \Rightarrow a = - b - 3c = - 2c \Rightarrow \overrightarrow n = \left( { - 2c; - c;c} \right) = - c\left( {2;1; - 1} \right) \Rightarrow \left( {2;1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\), do đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x + y - z + 4 = 0\).

TH2 : \(b = - {{11} \over 2}c \Rightarrow a = - b - 3c = {5 \over 2}c \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {{5 \over 2}c; - {{11} \over 2}c;c} \right) = {c \over 2}\left( {5; - 11;2} \right) \Rightarrow \left( {5; - 11;2} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\), do đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,5x - 11y + 2z - 8 = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.