Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,x + 2y + z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\,\,{{x

Câu hỏi số 259064:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,x + 2y + z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\,\,{{x + 1} \over 1} = {{y - 2} \over { - 1}} = {{z + 3} \over { - 1}}\). Viết phương trình mp(P) chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha = {{\sqrt 3 } \over 6}\).

A. \(\left( P \right):\,\, - 5x + 3y - 8z - 35 = 0\)

B. \(\left( P \right):\,\,5x - 3y + 8z - 15 = 0\)

C. \(\left( P \right):\,\,3x + 5y + 8z + 5 = 0\)

D. \(\left( P \right):\,\,8x - 5y + 3z - 1 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259064

Phương pháp giải

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng (P),

\(d \subset \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {{u_d}} \)

\(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}};\overrightarrow n } \right)} \right| = {{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}.\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng (P), \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng d.

\(d \subset \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow u \Rightarrow a - b - c = 0 \Leftrightarrow a = b + c\)

\(\eqalign{ & \cos \alpha = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}};\overrightarrow n } \right)} \right| = {{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}.\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr & \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 6} = {{\left| {a + 2b + c} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2{\left( {a + 2b + c} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = 2{\left( {3b + 2c} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow 2{b^2} + 2bc + 2{c^2} = 18{b^2} + 8{c^2} + 24bc \cr & \Leftrightarrow 16{b^2} + 22bc + 6{c^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ b = - {3 \over 8}c \hfill \cr b = - c \hfill \cr} \right. \cr} \)

TH1 : \(b = - c \Rightarrow a = 0 \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {0; - c;c} \right) = c\left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow \left( {0; - 1;1} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P), dựa vào các đáp án ta thấy không có đáp án nào thỏa mãn.

TH2 : \(b = - {3 \over 8}c \Rightarrow a = {5 \over 8}c \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {{5 \over 8}c; - {3 \over 8}c;c} \right) = - {c \over 8}\left( { - 5;3; - 8} \right) \Rightarrow \left( { - 5;3; - 8} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P).

Lấy \(A\left( { - 1;2; - 3} \right) \in d \Rightarrow A \in \left( P \right) \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng (P) là

\( - 5\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) - 8\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow - 5x + 3y - 8z - 35 = 0\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.