Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3\sin x\cos

Câu hỏi số 259361:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3\sin x\cos x-\frac{m}{4}+2=0\) có nghiệm thực?

A. 13

B. 15

C. 7

D. 9

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

\({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3\sin x\cos x-\frac{m}{4}+2=0\Leftrightarrow 4\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)+12\sin x\cos x+8=m\)

Giải chi tiết

\(\begin{align} {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3\sin x\cos x-\frac{m}{4}+2=0\Leftrightarrow 4\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)+12\sin x\cos x+8=m \\ \Leftrightarrow 4\left( 1-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right)+12\sin x\cos x+8=m\Leftrightarrow -3{{\sin }^{2}}2x+6\sin 2x+12=m\,\,\,\,(1) \\ \end{align}\)

Đặt \(\sin 2x=t,\,\,t\in \left[ -1;1 \right]\) , (1) trở thành : \(-3{{t}^{2}}+6t+12=m\,\,(2)\)

Xét hàm số \(f(t)=-3{{t}^{2}}+6t+12,\,\,t\in \left[ -1;1 \right]\), có:

\(f'(t)=-6t+6,\,\,f'(t)=0\Leftrightarrow t=1\)

Vậy, để phương trình (2) có nghiệm thì \(m\in \left[ 3;15 \right]\).

Mà \(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ 3;4;5;...;15 \right\}\Rightarrow \) Có 15 – 3 + 1 = 13 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: A

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:259361

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.