Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB với O là tâm, M là điểm trên đường tròn (O) (M khác A

Câu hỏi số 259396:

Vận dụng cao

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB với O là tâm, M là điểm trên đường tròn (O) (M khác A và B, MA < MB). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa điểm M, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By của (O). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt hai tia Ax, By lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh tứ giác OMCA nội tiếp

b) Gọi E là giao điểm củc CD với AB. Chứng minh \(EC.EM=EA.EO\)

c) Gọi I là giao điểm của BM với Ax. Chứng minh C là trung điểm của AI

d) Gọi H là giao điểm của AM với By. Chứng minh ba điểm E, I, H thẳng hàng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259396

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác OMCA có \(\widehat{OAC}=\widehat{OMC}={{90}^{0}}\) (do Ax, CD la các tiếp tuyến)

\(\Rightarrow \widehat{OAC}+\widehat{OMC}={{180}^{0}}\)

Suy ra tứ giác OMCA là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\))

b) Xét tam giác EAC và EMO có: \(\widehat{AEC}\) chung, \(\widehat{EAC}=\widehat{EMO}={{90}^{0}}\)

Suy ra \(\Delta EAC\sim \Delta EMO\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{EA}{EC}=\frac{EM}{EO}\Rightarrow EC.EM=EA.EO\)

c) Ta có \(\widehat{AMC}=\widehat{ABM}\) (cùng chắn cung AM) \(\begin{align} & \widehat{AMC}+\widehat{CMI}={{90}^{0}},\,\,\widehat{ABM}+\widehat{MIC}={{90}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{CMI}=\widehat{MIC} \\ \end{align}\)

Suy ra tam giác CMI cân tại C ⇒ CM = CI Mà CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ CA = CI Vậy C là trung điểm của AI

d) Tương tự ta chứng minh được D là trung điểm của BH Ax ⊥ AB, By ⊥ AB ⇒ Ax // By nên theo định lí Ta-let có: \(\frac{AC}{BD}=\frac{EC}{ED}\Rightarrow \frac{CI}{DH}=\frac{EC}{ED}\)

Xét tam giác ECI và EDH có

\(\widehat{ECI}=\widehat{EDH}\) (đồng vị),

\(\frac{CI}{DH}=\frac{EC}{ED}\)

\(\Rightarrow \Delta ECI\sim \Delta EDH\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{EIC}=\widehat{EHD}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị Vậy 3 điểm E, I, H thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link