a) Giải phương trình: \((\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1})(\sqrt{{{x}^{2}}+3x+4}+1)=5\) b) Giải hệ

Câu hỏi số 259654:

Vận dụng

a) Giải phương trình: \((\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1})(\sqrt{{{x}^{2}}+3x+4}+1)=5\)

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}-3x={{y}^{3}}+y \\ & {{x}^{2}}={{y}^{2}}+3 \\ \end{align} \right.\)

A. a) \(x=5.\)

b) \(\sqrt{3};0),(-\sqrt{3};0);(2;-1);(-2;-1).\)

B. a) \(x=-2.\)

b) \(\sqrt{2};0),(-\sqrt{2};0);(2;1);(-2;-1).\)

C. a) \(x=2.\)

b) \(\sqrt{3};0),(-\sqrt{3};0);(2;1);(-2;-1).\)

D. a) \(x=8.\)

b) \(\sqrt{3};1),(-\sqrt{3};1);(2;1);(-2;-1).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259654

Phương pháp giải

+) Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

+) Biến đổi hệ phương trình đưa về dạng phương trình tích để giải phương trình (1).

+) Sau đó thế vào phương trình (2) để tìm nghiệm.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x\ge -1.\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 4} = a\;\;\left( {a \ge 0} \right)\\
\sqrt {x + 1} = b\;\;\left( {b \ge 0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 5.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow (a - b)(ab + 1) = {a^2} - {b^2}\\
\Leftrightarrow (a - b)(ab + 1) = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\\
\Leftrightarrow (a - b)(ab - a - b + 1) = 0\\
\Leftrightarrow (a - b)(a - 1)(b - 1) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b\\
a = 1\\
b = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 4 = x - 1\\
x + 4 = 1\\
x - 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 3\;\;\left( {ktm} \right)\\
x = 2\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=2.\)

b) Hệ đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x = {y^3} + y\\
{x^2} = {y^2} + 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = 3x + y\;\;\;\;\left( 1 \right)\\
{x^2} - {y^2} = 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 3\left( {{x^3} - {y^3}} \right) = 3\left( {3x + y} \right)\\
\Leftrightarrow 3({x^3} - {y^3}) = ({x^2} - {y^2})(3x + y)\\
\Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {3x + y} \right)\\
\Leftrightarrow (x - y)\left[ {3{x^2} + 3xy + 3{y^2} - (3x + y)(x + y)} \right] = 0\\
\Leftrightarrow (x - y)(2{y^2} - xy) = 0\\
\Leftrightarrow (x - y)y(2y - x) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
y = 0\\
2y - x = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} = {x^2} + 3\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} = 3\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4{y^2} = {y^2} + 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 3\\
3{y^2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm \sqrt 3 \Rightarrow \left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {\sqrt 3 ;\;0} \right),\;\;\left( { - \sqrt 3 ;\;0} \right)} \right\}.\\
y = \pm 1 \Rightarrow \left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2;\; - 1} \right),\;\left( {2;\;1} \right)} \right\}.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) là: \(\sqrt{3};0),(-\sqrt{3};0);(2;1);(-2;-1).\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link