a) Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ac = 2017. Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 259655:

Vận dụng cao

a) Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ac = 2017. Chứng minh rằng: \(\sqrt{({{a}^{2}}+2017)({{b}^{2}}+2017)({{c}^{2}}+2017)}\) là 1 số hữu tỉ.

b) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: \(7{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=714.\)

A. \((x ; y)=(1 ; 7).\)

B. \((x ; y)=(9 ; 7).\)

C. \((x ; y)=(1 ; 5).\)

D. \((x ; y)=(2 ; 7).\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259655

Phương pháp giải

+) Sử dụng khái niệm và tính chất của số hữu tỉ.

+) Sử dụng tính chất chia hết.

Giải chi tiết

a) Thay ab + ac + bc = 2017 vào giá trị biểu thức ta được :

\(\begin{array}{l}
\sqrt {({a^2} + 2017)({b^2} + 2017)({c^2} + 2017)} \\
= \sqrt {({a^2} + ab + ac + bc)({b^2} + ab + ac + bc)({c^2} + ab + ac + bc)} \\
= \sqrt {(a + b)(a + c)(b + c)(b + a)(c + b)(c + a)} \\
= (a + b)(a + c)(b + c).
\end{array}\)

Vì \(a,\ b,\ c\) là các số hữu tỉ \(\Rightarrow \left( a+b \right),\ \left( a+c \right),\ \left( b+c \right)\) là các số hữu tỉ.

\(\Rightarrow \left( a+b \right)\left( a+c \right)\left( b+c \right)\) là số hữu tỉ.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có 7 là 1 ước của 714 nên

\(\left\{ \begin{array}{l}
7{x^2} + 3{y^2} = 714 \vdots 7\\
7{x^2} \vdots 7
\end{array} \right. \to 3{y^2} \vdots 7 \to {y^2} \vdots 7\)

Mặt khác : \(3{{y}^{2}}\le 714\Rightarrow {{y}^{2}}\le 102\Rightarrow y\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1;}\ \text{7 }\!\!\}\!\!\text{ }\)

Với y = 7 thì \(7{{x}^{2}}=567\Leftrightarrow {{x}^{2}}=81\Rightarrow x=9\ \ \left( tm \right)\)

Với y = 1 thì \(7{{x}^{2}}=711\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{711}{7}\) (vô lý).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương (x ; y) duy nhất là (9 ; 7).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link