a) Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ac = 2017. Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 259655:

Vận dụng cao

a) Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ac = 2017. Chứng minh rằng: \(\sqrt{({{a}^{2}}+2017)({{b}^{2}}+2017)({{c}^{2}}+2017)}\) là 1 số hữu tỉ.

b) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: \(7{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=714.\)

A. \((x ; y)=(1 ; 7).\)

B. \((x ; y)=(9 ; 7).\)

C. \((x ; y)=(1 ; 5).\)

D. \((x ; y)=(2 ; 7).\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259655

Phương pháp giải

+) Sử dụng khái niệm và tính chất của số hữu tỉ.

+) Sử dụng tính chất chia hết.

Giải chi tiết

a) Thay ab + ac + bc = 2017 vào giá trị biểu thức ta được :

\(\begin{array}{l}
\sqrt {({a^2} + 2017)({b^2} + 2017)({c^2} + 2017)} \\
= \sqrt {({a^2} + ab + ac + bc)({b^2} + ab + ac + bc)({c^2} + ab + ac + bc)} \\
= \sqrt {(a + b)(a + c)(b + c)(b + a)(c + b)(c + a)} \\
= (a + b)(a + c)(b + c).
\end{array}\)

Vì \(a,\ b,\ c\) là các số hữu tỉ \(\Rightarrow \left( a+b \right),\ \left( a+c \right),\ \left( b+c \right)\) là các số hữu tỉ.

\(\Rightarrow \left( a+b \right)\left( a+c \right)\left( b+c \right)\) là số hữu tỉ.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có 7 là 1 ước của 714 nên

\(\left\{ \begin{array}{l}
7{x^2} + 3{y^2} = 714 \vdots 7\\
7{x^2} \vdots 7
\end{array} \right. \to 3{y^2} \vdots 7 \to {y^2} \vdots 7\)

Mặt khác : \(3{{y}^{2}}\le 714\Rightarrow {{y}^{2}}\le 102\Rightarrow y\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1;}\ \text{7 }\!\!\}\!\!\text{ }\)

Với y = 7 thì \(7{{x}^{2}}=567\Leftrightarrow {{x}^{2}}=81\Rightarrow x=9\ \ \left( tm \right)\)

Với y = 1 thì \(7{{x}^{2}}=711\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{711}{7}\) (vô lý).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương (x ; y) duy nhất là (9 ; 7).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link