Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn

Câu hỏi số 260015:

Vận dụng cao

Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \({{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}+5\sqrt{{{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}-{{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}}={{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}\) và \({{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+3\) với mọi \(n\ge 1\). Giá trị lớn nhất của \(n\) để \({{\log }_{3}}{{u}_{n}}<\ln 2018\) bằng

A. \(1419\).

B. \(1418\).

C. \(1420\).

D. \(1417\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260015

Phương pháp giải

Giải phương trình chứa căn và mũ để tìm mối liên hệ giữa các số hạng, phát hiện tính chất của cấp số cộng để tìm công thức tổng quát của số hạng thứ n

Giải chi tiết

Ta có \({{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+3\) với mọi \(n\ge 1\) nên \({{u}_{n}}\) là cấp số cộng có công sai \(d=3\) \({{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}+5\sqrt{{{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}-{{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}}={{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow 5\sqrt{{{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}-{{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}}={{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}-{{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}\)\(\left( 1 \right)\)

Đặt \(t={{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}-{{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}\) \(\left( t\ge 0 \right)\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(5\sqrt{t}=-t\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t\le 0 \\ & 25t={{t}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow t=0\) \(5\sqrt{t}=-t\Leftrightarrow t+5\sqrt{t}=0\Leftrightarrow \sqrt{t}\left( \sqrt{t}+5 \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{t}=0\Leftrightarrow t=0\) Với \(t=0\) ta có : \({{\text{e}}^{{{u}_{18}}}}={{\text{e}}^{4{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow {{u}_{18}}=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}+17d=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}+51=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=17\)

Do đó \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=17+\left( n-1 \right)3=3n+14\)

Lại có \({{\log }_{3}}{{u}_{n}}<\ln 2018\Leftrightarrow {{u}_{n}}<{{3}^{\ln 2018}}\Leftrightarrow 3n+14<{{3}^{\ln 2018}}\Leftrightarrow n<\frac{{{3}^{\ln 2018}}-14}{3}\approx 1419,98\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(n\) là \(1419\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.