Cho \(z \in C\) thỏa mãn \(\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{z} + 1 - 3i\). Biết tập

Câu hỏi số 260615:

Vận dụng cao

Cho \(z \in C\) thỏa mãn \(\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{z} + 1 - 3i\). Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(w = \left( {3 - 4i} \right)z - 1 + 2i\) là đường tròn tâm I, bán kính R. Kết quả nào đúng ?

A. \(I\left( { - 1; - 2} \right)R = \sqrt 5 \)

B. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 5\)

C. \(I\left( {1;2} \right),R = \sqrt 5 \)

D. \(I\left( { - 1;2} \right),R = 5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260615

Phương pháp giải

Từ giả thiết \(\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{z} + 1 - 3i\), tìm \(\left| z \right|\).

\(w = \left( {3 - 4i} \right)z - 1 + 2i\), rút z theo w, tính môđun hai vế và suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{z} + 1 - 3i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)\left| z \right| - 1 + 3i = \frac{{\sqrt {17} }}{z}\\ \Leftrightarrow \left( {2\left| z \right| - 1} \right) + \left( {\left| z \right| + 3} \right)i = \frac{{\sqrt {17} }}{z}\\ \Leftrightarrow {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} + {\left( {\left| z \right| + 3} \right)^2} = \frac{{17}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\\ \Leftrightarrow 5{\left| z \right|^4} + 2{\left| z \right|^3} + 10{\left| z \right|^2} - 17 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {5{{\left| z \right|}^3} + 5{{\left| z \right|}^2} + 7\left| z \right| + 17} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| z \right| = 1\\5{\left| z \right|^3} + 5{\left| z \right|^2} + 7\left| z \right| + 17 = 0\,\,\left( {vn} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(w = x + yi\) ta có:

\(\begin{array}{l}w = \left( {3 - 4i} \right)z - 1 + 2i \Rightarrow \left( {3 - 4i} \right)z = w + 1 - 2i\\ \Leftrightarrow 5\left| z \right| = \left| {w + 1 - 2i} \right| = 5\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(w = \left( {3 - 4i} \right)z - 1 + 2i\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.