Cho đường tròn (O) với tâm O, bán kính R và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di
Cho đường tròn (O) với tâm O, bán kính R và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (O) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy điểm C đối xứng với O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt AM tại N. Đường thẳng BN cắt (O) tại điểm thứ 2 là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng: 3 điểm A, E, F thẳng hàng và tứ giác MENF nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: \(AM.AN=2{{R}^{2}}.\)
c) Xác định vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để tam giác BNF có diện tích nhỏ nhất.
Quảng cáo
+) Áp dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.
+) Từ tính chất của tứ giác nội tiếp suy ra các góc tương ứng bằng nhau để chứng minh các cặp tam giác đồng dạng và chứng minh các đẳng thức đề bài yêu cầu.
a) Ta xét tam giác BNF có BC, NM và EF lần lượt là các đường cao kẻ từ B, N và F
Mà BC và MN cắt nhau tại A hay A là trực tâm của tam giác BNF.
\(\Rightarrow \) EF đi qua A hay A, E, F thẳng hàng. (đpcm).
b) Trong tứ giác MENF có: \(\widehat{NMF}=\widehat{\text{NEF}}={{90}^{0}}\) nên tứ giác này là tứ giác nội tiếp.
Theo tính chất các đường cát tuyến ta có: AM . AN = AE. AF.
Dễ có:
\(\Delta C\text{AF}\sim \Delta \text{EAB(g}\text{.g)}\Rightarrow \frac{AC}{AE}=\frac{AF}{AB}\Leftrightarrow AC.AB=\text{AF}\text{.AE=AO}\text{.AB=2}{{\text{R}}^{2}}.\)
Ta có điều phải chứng minh.
c) Ta có:
\(\begin{align} & \Delta C\text{AF}\sim \Delta \text{EAB(g}\text{.g)}\Rightarrow \widehat{NBC}=\widehat{CFA} \\ & \Delta C\text{AF}\sim \Delta CBN\text{(g}\text{.g)}\Rightarrow \text{CF}\text{.CN=CA}\text{.CB=3}{{\text{R}}^{2}} \\ & {{S}_{BNF}}=\frac{1}{2}BC.FN=\frac{1}{2}3R.FN=\frac{1}{2}3R(CF+CN) \\\end{align}\)
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: \(CF+CN\ge 2\sqrt{CF.CN}=2\sqrt{3}R.\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi CF = CN hay BC là trung tuyến, đồng thời BC cũng là đường cao nên khi và chỉ khi tam giác BFN cân tại B.
Ta lại có : \(BA=\frac{2}{3}BC\) nên A là trọng tâm tam giác BFN và theo câu a) A là trực tâm của tam giác nên suy ra tam giác BFN đều. Suy ra :
\(\widehat{CBF}={{30}^{0}}\Rightarrow \widehat{ABM}={{30}^{0}}.\)
Vậy để diện tích tam giác BNF nhỏ nhất thì M thuộc đường tròn (O) sao cho : \(\widehat{ABM}={{30}^{0}}.\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
