Số phức \(z = \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{2018}}\)có

Câu hỏi số 261101:

Vận dụng

Số phức \(z = \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{2018}}\)có phần ảo bằng

A. \(1 - {2^{1009}}\).

B. \({2^{1009}} - 1\).

C. \(1 + {2^{1009}}\).

D. \( - \left( {1 + {2^{1009}}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261101

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng, có dạng: \({S_n} = 1 + q + {q^2} + ... + {q^n} = \frac{{1 - {q^{n + 1}}}}{{1 - q}},\,\,q \ne 1\)

Giải chi tiết

\(z = \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{2018}} = \frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{1 - (1 + i)}} - 1 = \frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{ - i}} - 1\)

Mà \({(1 + i)^{2019}} = {\left( {{{(1 + i)}^2}} \right)^{1009}}.(1 + i) = {\left( {2i} \right)^{1009}}(1 + i) = {2^{1009}}.{i^{1009}}(1 + i) = {2^{1009}}.{\left( {{i^4}} \right)^{252}}.i(1 + i) = {2^{1009}}.{\left( 1 \right)^{252}}.i(1 + i)\)

\( = {2^{1009}}i(1 + i) = {2^{1009}}(i - 1)\)

\( \Rightarrow z = \frac{{1 - {2^{1009}}(i - 1)}}{{ - i}} - 1 = \frac{{\left( {1 + {2^{1009}}} \right)i - {2^{1009}}{i^2}}}{{ - {i^2}}} - 1 = \left( {1 + {2^{1009}}} \right)i + \left( {{2^{1009}} - 1} \right)\)

Số phức z có phần ảo bằng \(1 + {2^{1009}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.