Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {BAC} = \widehat {CAD} = \widehat {CAB} = {90^0},\,AB = 1,\,AC = 2,\,AD = 3\).

Câu hỏi số 261103:

Vận dụng

Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {BAC} = \widehat {CAD} = \widehat {CAB} = {90^0},\,AB = 1,\,AC = 2,\,AD = 3\). Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng

A. \(\frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).

B. \(\frac{2}{7}\).

C. \(\frac{1}{3}\).

D. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{7}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261103

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\)

Giải chi tiết

Kẻ \(AH \bot BC,\,\,(H \in BC)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (ABC) \Rightarrow AD \bot BC\)

Mà \(BC \bot AH \Rightarrow \) \(BC \bot (ADH) \Rightarrow \left( {\widehat {(ABC);(BCD)}} \right) = \left( {\widehat {AH;DH}} \right) = \widehat {DHA}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A, \(AH \bot BC\) \( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{5}{4}\)\( \Rightarrow AH = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

\(\Delta AHD\) vuông tại A: \(DH = \sqrt {A{H^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2} + {3^2}} = \frac{7}{{\sqrt 5 }}\) \( \Rightarrow \cos \widehat {DHA} = \frac{{AH}}{{DH}} = \frac{{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{7}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{2}{7}\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\widehat {(ABC);(BCD)}} \right) = \frac{2}{7}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.