Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB của

Câu hỏi số 261552:

Vận dụng cao

Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BE của đường tròn (O). Gọi F là giao điểm thứ hai của ME và đường tròn (O). Đường thẳng AF cắt MO tại điểm N. Gọi H là giao điểm của MO và AB.

1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng AE song song với đường thẳng MO.

3) Chứng minh $M{N^2} = NF.NA$

4) Chứng minh $MN = NH$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261552

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác OAMB có tổng hai góc đối bằng 90⁰.

b) Chứng minh AE và MO cùng vuông góc với AB.

c) Chứng minh hai tam giác MNF và ANM đồng dạng.

d) Chứng minh tam giác HNF vuông tại F, từ đó chứng minh hai tam giác NFH và NHA đồng dạng, kết hợp với kết quả của ý c) suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

1) Do MA, MB là các tiếp tuyến của (O)

$ \Rightarrow OA \bot MA;\,\,OB \bot MB \Rightarrow \widehat {OAM} = \widehat {OBM} = {90^0}$

Xét tứ giác OAMB có $\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ Tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

2) $\widehat {EAB}$ là tứ giác nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) $ \Rightarrow \widehat {EAB} = {90^0} \Rightarrow AE \bot AB$

Mà $MO \bot AB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$ \Rightarrow AE//MO$ (cùng vuông góc với AB).

3) Ta có $\widehat {AFE} = \widehat {ABE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

$\widehat {ABE} = \widehat {OMB}$ (cùng phụ $\widehat {MBH}$)

$\widehat {OMB} = \widehat {OMA}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$ \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {OMA}$

Lại có $\widehat {AFE} = \widehat {MFN}$ (đối đỉnh) $ \Rightarrow \widehat {MFN} = \widehat {OMA}$

Xét $\Delta MNF$ và $\Delta ANM$ có $\widehat {ANM}$ chung, $\widehat{MFN}=\widehat{OMA}\,\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta MNF\backsim \Delta ANM\,\,\left( g.g \right)$

$ \Rightarrow \frac{{MN}}{{NA}} = \frac{{NF}}{{MN}} \Rightarrow M{N^2} = NF.NA\,\,\,\left( 1 \right)$

d) $\Delta MNF\backsim \Delta ANM\ \ \left( g-g \right)\Rightarrow \widehat{FMN}=\widehat{MAN}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {MAN} = \widehat {ABF}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AF)

$ \Rightarrow \widehat {FMN} = \widehat {ABF} \Rightarrow $ Tứ giác BHFM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau).

$ \Rightarrow \widehat {MFB} = \widehat {MHB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB). Mà $\widehat {MHB} = {90^0}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$ \Rightarrow \widehat {MFB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {MFN} + \widehat {NFB} = {90^0}$.

Tứ giác BHFM nội tiếp (cmt) $ \Rightarrow \widehat {BFH} = \widehat {BMH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH).

Mà $\widehat {MFN} = \widehat {OMA}\,\,\left( {cmt} \right);\,\,\widehat {OMA} = \widehat {BMH} \Rightarrow \widehat {MFN} = \widehat {BMH}$

$ \Rightarrow \widehat {BFH} = \widehat {MFN}$

$ \Rightarrow \widehat {BFH} + \widehat {NFB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {NFH} = {90^0}$

Xét $\Delta NFH$ và $\Delta NHA$ có $\widehat {ANH}$ chung, $\widehat {NFH} = \widehat {NHA} = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta NFH\backsim \Delta NHA\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{NF}{NH}=\frac{NH}{NA}\Rightarrow N{{H}^{2}}=NF.NA\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow MN = NH$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link