Tìm các số tự nhiên \(n\) để \(A = {n^{2018}} + {n^{2008}} + 1\) là số nguyên tố.

Câu hỏi số 261681:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261681

Phương pháp giải

Thử \(n = 0,\,\,n = 1\).

Với \(n > 1,\,\) chứng minh A chia hết cho \({n^2} + n + 1\).

Giải chi tiết

Xét \(n = 0\) thì A = 1 không là số nguyên tố;

Xét \(n = 1\) thì A = 3 là số nguyên tố.

Xét n > 1, ta thấy A > n² + n + 1;

A = n²⁰¹⁸ – n² + n²⁰⁰⁸ – n + n² + n + 1 = n²((n³)⁶⁷² – 1) + n.((n³)⁶⁶⁹ – 1) + (n² + n + 1)

Mà (n³)⁶⁷² – 1 chia hết cho n³-1, suy ra (n³)⁶⁷² – 1 chia hết cho n² + n + 1

(Vì \({n^3} - 1 = \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right) \Rightarrow \left( {{n^3} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {{n^2} + n + 1} \right)\))

Tương tự: (n³)⁶⁶⁹ – 1 chia hết cho n² + n + 1

Khi đó A chia hết cho n² + n + 1 > 1 và A > n² + n + 1

Vậy A là hợp số với mọi n > 1.

Tóm lại số tự nhiên cần tìm là n = 1.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link