1) Cho 3 số \(x,\;y,\;z\) đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện: \(x + y + z = 0.\) Tính giá trị

Câu hỏi số 262066:

Vận dụng

1) Cho 3 số \(x,\;y,\;z\) đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện: \(x + y + z = 0.\) Tính giá trị của biểu thức:

\(P = \frac{{2018\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz}}.\)

2) Rút gọn biểu thức: \(Q = \frac{{1 + ax}}{{1 - ax}}\sqrt {\frac{{1 - bx}}{{1 + bx}}} \) với \(x = \frac{1}{a}\sqrt {\frac{{2a - b}}{b}} \) và \(0 < a < b < 2a.\)

A. a) \(P= 2017.\)

b) \(Q = 1.\)

B. a) \(P= 2018.\)

b) \(Q = 1.\)

C. a) \(P= 2008.\)

b) \(Q = 2.\)

D. a) \(P= 2038.\)

b) \(Q = 4.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262066

Giải chi tiết

Kiến thức cần có: Nếu \(x,\;y,\;z\) là 3 số thực thỏa mãn \(x + y + z = 0\) thì khi đó \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\).

1) Chú ý rằng: \((x - y)(y - z)(x - z) = x{y^2} + y{z^2} + {x^2}z - {x^2}y - {y^2}z - {z^2}x\), đồng thời:

\(\begin{array}{l}2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz\\ = 2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + {x^3} + {y^3} + {z^3}\\ = x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} + {y^2}(x + y) + {z^2}(y + z) + {x^2}(x + z)\\ = x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} - {y^2}z - {z^2}x - {x^2}y.\end{array}\)

Do đó: \(P = \frac{{2018\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz}} = 2018.\)

2) Điều kiện: \(0 < a < b < 2a.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}1 + ax = 1 + \sqrt {\frac{{2a - b}}{b}} = \frac{{\sqrt b + \sqrt {2a - b} }}{{\sqrt b }};\;\;\;1 - ax = \frac{{\sqrt b - \sqrt {2a - b} }}{{\sqrt b }}\\ \Rightarrow \frac{{1 + ax}}{{1 - ax}} = \frac{{\sqrt b + \sqrt {2a - b} }}{{\sqrt b - \sqrt {2a - b} }} = \frac{{{{\left( {\sqrt b + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{b - \left( {2a - b} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt b + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{2\left( {b - a} \right)}}.\\1 + bx = 1 + \frac{b}{a}\sqrt {\frac{{2a - b}}{b}} = 1 + \frac{{\sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a} = \frac{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a}.\\1 - bx = 1 - \frac{b}{a}\sqrt {\frac{{2a - b}}{b}} = 1 - \frac{{\sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a} = \frac{{a - \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a}.\\ \Rightarrow \frac{{1 - bx}}{{1 + bx}} = \frac{{a - \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a}.\frac{a}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }} = \frac{{a - \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}\\\;\; = \frac{{{a^2} - b\left( {2a - b} \right)}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}}\\\;\; = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}}.\\ \Rightarrow \sqrt {\frac{{1 - bx}}{{1 + bx}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}}} = \left| {\frac{{a - b}}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}} \right| = \frac{{b - a}}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}\;\;\;\left( {do\;\;a < b} \right).\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q = \frac{{1 + ax}}{{1 - ax}}\sqrt {\frac{{1 - bx}}{{1 + bx}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt b + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{2\left( {b - a} \right)}}.\frac{{b - a}}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt b + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}} = \frac{{b + 2a - b + 2\sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}}{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}} = 1.\end{array}\)

Vậy \(Q = 1.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link