1) Cho 3 số \(x,\;y,\;z\) đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện: \(x + y + z = 0.\) Tính giá trị

Câu hỏi số 262066:

Vận dụng

1) Cho 3 số \(x,\;y,\;z\) đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện: \(x + y + z = 0.\) Tính giá trị của biểu thức:

\(P = \frac{{2018\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz}}.\)

2) Rút gọn biểu thức: \(Q = \frac{{1 + ax}}{{1 - ax}}\sqrt {\frac{{1 - bx}}{{1 + bx}}} \) với \(x = \frac{1}{a}\sqrt {\frac{{2a - b}}{b}} \) và \(0 < a < b < 2a.\)

A. a) \(P= 2017.\)

b) \(Q = 1.\)

B. a) \(P= 2018.\)

b) \(Q = 1.\)

C. a) \(P= 2008.\)

b) \(Q = 2.\)

D. a) \(P= 2038.\)

b) \(Q = 4.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262066

Giải chi tiết

Kiến thức cần có: Nếu \(x,\;y,\;z\) là 3 số thực thỏa mãn \(x + y + z = 0\) thì khi đó \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\).

1) Chú ý rằng: \((x - y)(y - z)(x - z) = x{y^2} + y{z^2} + {x^2}z - {x^2}y - {y^2}z - {z^2}x\), đồng thời:

\(\begin{array}{l}2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz\\ = 2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + {x^3} + {y^3} + {z^3}\\ = x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} + {y^2}(x + y) + {z^2}(y + z) + {x^2}(x + z)\\ = x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} - {y^2}z - {z^2}x - {x^2}y.\end{array}\)

Do đó: \(P = \frac{{2018\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz}} = 2018.\)

2) Điều kiện: \(0 < a < b < 2a.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}1 + ax = 1 + \sqrt {\frac{{2a - b}}{b}} = \frac{{\sqrt b + \sqrt {2a - b} }}{{\sqrt b }};\;\;\;1 - ax = \frac{{\sqrt b - \sqrt {2a - b} }}{{\sqrt b }}\\ \Rightarrow \frac{{1 + ax}}{{1 - ax}} = \frac{{\sqrt b + \sqrt {2a - b} }}{{\sqrt b - \sqrt {2a - b} }} = \frac{{{{\left( {\sqrt b + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{b - \left( {2a - b} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt b + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{2\left( {b - a} \right)}}.\\1 + bx = 1 + \frac{b}{a}\sqrt {\frac{{2a - b}}{b}} = 1 + \frac{{\sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a} = \frac{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a}.\\1 - bx = 1 - \frac{b}{a}\sqrt {\frac{{2a - b}}{b}} = 1 - \frac{{\sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a} = \frac{{a - \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a}.\\ \Rightarrow \frac{{1 - bx}}{{1 + bx}} = \frac{{a - \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a}.\frac{a}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }} = \frac{{a - \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}\\\;\; = \frac{{{a^2} - b\left( {2a - b} \right)}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}}\\\;\; = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}}.\\ \Rightarrow \sqrt {\frac{{1 - bx}}{{1 + bx}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}}} = \left| {\frac{{a - b}}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}} \right| = \frac{{b - a}}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}\;\;\;\left( {do\;\;a < b} \right).\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q = \frac{{1 + ax}}{{1 - ax}}\sqrt {\frac{{1 - bx}}{{1 + bx}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt b + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{2\left( {b - a} \right)}}.\frac{{b - a}}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt b + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}} = \frac{{b + 2a - b + 2\sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}}{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}} = 1.\end{array}\)

Vậy \(Q = 1.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link