Cho hypebol \((H):4{x^2} - {y^2} = 4\). Tìm điểm \(M \in (H)\), nằm trong góc phần tư thứ I, sao cho: M

Câu hỏi số 262645:

Thông hiểu

Cho hypebol \((H):4{x^2} - {y^2} = 4\). Tìm điểm \(M \in (H)\), nằm trong góc phần tư thứ I, sao cho: M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

A. \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }}; - \frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

B. \(M\left( { - \frac{3}{{\sqrt 5 }}; - \frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

C. \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

D. \(M\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }};\frac{3}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262645

Phương pháp giải

\((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,{c^2} = {a^2} + {b^2}\). Tọa độ tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right);\,\,{F_2}\left( {c;0} \right)\)

\(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}} = 0\)

Giải chi tiết

Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow 4{x_0}^2 - {y_0}^2 = 4\,\,\,(1)\)

\((H):4{x^2} - {y^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \end{array} \right. \Rightarrow {F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right);\,\,{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {M{F_1}} = \left( { - \sqrt 5 - {x_0}; - {y_0}} \right);\overrightarrow {M{F_2}} = \left( {\sqrt 5 - {x_0}; - {y_0}} \right)\)

Vì M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông \( \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - \sqrt 5 - {x_0}} \right).\left( {\sqrt 5 - {x_0}} \right) + \left( { - {y_0}} \right).\left( { - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 - 5 + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 5\,\,(2)\)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4{x_0}^2 - {y_0}^2 = 4\,\\{x_0}^2 + {y_0}^2 = 5\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = \frac{9}{5}\\{y_0}^2 = \frac{{16}}{5}\end{array} \right.\)

Vì nằm trong góc phần tư thứ I nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\\{y_0} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.