Cho đường tròn O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M

Câu hỏi số 262871:

Vận dụng cao

Cho đường tròn O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ \(CH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn.

b) \(A{M^2} = MK.MB\)

c) \(\widehat {KAC} = \widehat {OMB}\)

d) N là trung điểm của CH.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262871

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác AKHN là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

c) Chứng minh tứ giác AMKD là tứ giác nội tiếp.

d) +) Chứng minh CKDN là tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh DN // AH

+) Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {AKN} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {AKN} + \widehat {AHN} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác AKHN là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMB có đường cao AK có \(A{M^2} = MK.MB\)

c) Gọi D là giao điểm của OM và AC. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(OM \bot AC \Rightarrow \widehat {ADM} = {90^0} = \widehat {AKM} \Rightarrow \) Tứ giác AMKD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {KAC} = \widehat {OMB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KD).

d) Do tứ giác AMKD là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {MAK} = \widehat {MDK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Mà \(\widehat {MAK} = \widehat {ABK}\) (cùng phụ với \(\widehat {KAB}\)) \( \Rightarrow \widehat {MDK} = \widehat {ABK}\).

Ta có: \(\widehat {MDK} + \widehat {KDC} = \widehat {MDC} = {90^0};\,\,\widehat {ABK} + \widehat {HNB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {HNB}\).

Mà \(\widehat {HNB} = \widehat {KNC}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KNC} \Rightarrow \) Tứ giác CKDN là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau) \( \Rightarrow \widehat {CKN} = \widehat {CDN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN).

Mà \(\widehat {CKN} = \widehat {CAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB) \( \Rightarrow \widehat {CDN} = \widehat {CAB}\). Hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị, do đó DN // AH.

Xét tam giác CAH có CN // AH ; D là trung điểm của AH (quan hệ vuông góc đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \) N là trung điểm của CH (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link