Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 263061:

Thông hiểu

Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) sao cho biểu thức \(T = {x_1}^2 + {x_2}^2 - \left( {m - 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} - 3m\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263061

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Delta > 0\).

Sử dụng định lí Vi-et.

Giải chi tiết

Ta có \(\Delta = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 3m} \right) = 4\left( {m + 1} \right) > 0\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow m > - 1.\)

Áp dụng định lý Viet ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\end{array} \right. \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 3m} \right)\\ \Rightarrow T = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 3m} \right) - \left( {m - 1} \right)2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 3m\\ \Rightarrow T = 4{m^2} - 8m + 4 - 2{m^2} + 6m - 2{m^2} + 4m - 2 + {m^2} - 3m\\ \Rightarrow T = {m^2} - m + 2 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}.\end{array}\)

Vậy để T đạt giá trị nhỏ nhất thì \(m = \frac{1}{2}.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link