Cho điểm A cố định trên đường tròn (O), bán kính R. Hay dây cung thay đổi AB, AC của đường

Câu hỏi số 263065:

Vận dụng

Cho điểm A cố định trên đường tròn (O), bán kính R. Hay dây cung thay đổi AB, AC của đường tròn (O) thỏa mãn \(AB.AC = 2\sqrt 2 {R^2}\)( B khác C). Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC).

a) Chứng minh rằng: \(AH = R\sqrt 2 \).

b) Gọi D và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC bằng 2 lần diện tích tam giác ADK.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263065

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí sin trong tam giác ABC.

b) Chứng minh hai tam giác ADK và ACB đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Giải chi tiết

a) Ta có: Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC thì:

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{{AC}}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{{AB}}{{2R}}\\ \Rightarrow \sin C.\sin B = \frac{{AB.AC}}{{4{R^2}}} = \frac{{2\sqrt 2 {R^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}}.\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có:

\(AD.AB = A{H^2} = AK.AC \Rightarrow \Delta ADK \sim \Delta ACB\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

2 tam giác này đồng dạng theo 1 tỉ số k sao cho: \(k = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AK}}{{AB}} \Rightarrow {k^2} = \frac{{AD}}{{AC}}.\frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{{S_{ADK}}}}{{{S_{ABC}}}}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}AD.AB = A{H^2} = AK.AC \Rightarrow AD.AB.AK.AC = A{H^4}\\ \Rightarrow \frac{{AD.AK}}{{AC.AB}} = \frac{{A{H^4}}}{{{{\left( {AC.AB} \right)}^2}}} = \frac{{4{R^4}}}{{8{R^4}}} = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Từ đây ta có điểu phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link