a) Cho phương trình: \({{(x-a)}^{2}}\left[ a{{\left( x-a \right)}^{2}}-a-1 \right]+1=0.\) Tìm tất cả

Câu hỏi số 263210:

Vận dụng cao

a) Cho phương trình: \({{(x-a)}^{2}}\left[ a{{\left( x-a \right)}^{2}}-a-1 \right]+1=0.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình có số nghiệm dương nhiều hơn số nghiệm âm.

b) Cho \(a,\ b,\ c\) là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{2017}{2017+b}+\frac{2018}{2018+c}\le 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=abc.\)

A. a) \(a > 3.\)

b) \(8.2016.2018\)

B. a) \(a > 1.\)

b) \(3.2017.2018\)

C. a) \(a > 3.\)

b) \(8.2017.2018\)

D. a) \(a > 1.\)

b) \(8.2017.2018\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263210

Giải chi tiết

a) Phương trình đã cho tương đương với :

\(\begin{array}{l}{(x - a)^2}\left[ {a{{\left( {x - a} \right)}^2} - a - 1} \right] + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {(x - a)^2}.\left[ {a{{(x - a)}^2} - 1} \right] - a{(x - a)^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {a{{(x - a)}^2} - 1} \right]\left[ {{{(x - a)}^2} - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a{(x - a)^2} = 1\\{(x - a)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a{(x - a)^2} = 1\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\x = 1 + a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\\x = - 1 + a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Nếu \(a < 0\) thì phương trình (1) vô nghiệm, do đó \(1 + a\) và \( - 1 + a\) đều phải \( > 0.\)

Do vậy \(a > 1.\) Điều này là vô lý.

Nếu \(a > 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} = \frac{1}{a} \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = \frac{{\sqrt a }}{a} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt a }}{a} + 1\\x = - \frac{{\sqrt a }}{a} + 1\end{array} \right..\)

Do \(a + \frac{1}{{\sqrt a }} > 0\)

và \(1 + a > 0\) nên nếu 2 nghiệm còn lại phải có cả nghiệm âm, nghiệm dương thì

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a < 0\\\frac{{ - 1}}{{\sqrt a }} + a > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a > 0\\\frac{{ - 1}}{{\sqrt a }} + a < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 1\\a\sqrt a > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\a\sqrt a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 1\\a > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow a \in \emptyset .\)

Do vậy: cả 4 nghiệm đều \( > 0\) nên: \(a > 1.\)

Vậy \(a > 1\) là điều cần tìm.

b) Ta có ngay :

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{a + 1}} + \frac{{2017}}{{2017 + b}} + \frac{{2018}}{{2018 + c}} \le 1}\\{ \Leftrightarrow \frac{c}{{c + 2018}} \ge \frac{1}{{a + 1}} + \frac{{2017}}{{2017 + b}}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

\(\frac{c}{{c + 2018}} \ge \frac{1}{{a + 1}} + \frac{{2017}}{{2017 + b}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{a + 1}}.\frac{{2017}}{{2017 + b}}} \)

Chứng minh hoàn toàn tương tự :

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{b}{{2017 + b}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{1 + a}}.\frac{{2018}}{{2018 + c}}} }\\{\frac{a}{{a + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{2017}}{{2017 + b}}.\frac{{2018}}{{2018 + c}}} }\end{array}\)

Nhân vế với vế ta có : \(abc \ge 8.2017.2018\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của abc là 8.2017.2018, đạt tại a = 2, b = 4034, c= 4036.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link