Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, M là điểm bất kì thuộc cạnh AB (M khác A và B).Gọi E là giao

Câu hỏi số 263211:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, M là điểm bất kì thuộc cạnh AB (M khác A và B).Gọi E là giao điểm của CM và DA. Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DE. Gọi N là trung điểm của EF.

a) Chứng minh hai tam giác EAC và NBC đồng dạng.

b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 6 lần diện tích hình vuông ABCD.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263211

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta EDC\) và \(\Delta FBC\) ta có:

\(\begin{array}{l}DC = BC\;\left( { = a} \right)\\DE = BF\left( {gt} \right)\\\widehat {EDC} = \widehat {BFC} = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta EDC = \Delta FBC\left( {c - g - c} \right).\\ \Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {ECD} \Rightarrow \widehat {ECD} + \widehat {MCB} = \widehat {BCF} + \widehat {MCB}\\ \Rightarrow \widehat {DCB} = \widehat {ECF} = {90^0}.\end{array}\)

Xét \(\Delta ECF\) ta có:

N là trung điểm của EF

\(\widehat {ECF} = {90^0}.\)

\( \Rightarrow NC = NE = NF\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Vì \(\Delta EDC = \Delta FBC\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow CE = CF\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow CN\) là đường cao của \(\Delta ECF\) là tam giác vuông cân.

\( \Rightarrow CN \bot EF \Rightarrow \Delta CNE\) vuông cân tại \(N.\)

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ECN}( = {45^0}) \Rightarrow \widehat {ECA} = \widehat {NCB}.\)

Hơn nữa:

\(\frac{{BC}}{{NC}} = \frac{{AC}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{NC}}{{EC}}\;\;\left( { = \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\)

Do đó: \(\Delta ECA\backsim \Delta NCB(c.g.c).\;\;\;\;\left( {dpcm} \right)\)

b) Đặt \(AE = x\) ta có: \(E{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {\left( {a + x} \right)^2} + {a^2}.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ccccc}
S{ _{AEC}} = \frac{1}{2}CD.AE = \frac{1}{2}a.x = \frac{{ax}}{2}\\{S_{EFC}} = \frac{1}{2}E{C^2} = \frac{{{{\left( {a + x} \right)}^2} + {a^2}}}{2}\end{array} \right..\\\Rightarrow {S_{AEFC}} = {S_{AEC}} + {S_{EFC}} = \frac{{ax}}{2} + \frac{{{{\left( {a + x} \right)}^2} + {a^2}}}{2} = \frac{{2{a^2} + 3ax + {x^2}}}{2}.\end{array}\)

Từ đây ta có :

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{S_{ACFE}} = 6{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 2{a^2} + 3ax + {x^2} = 12{a^2}}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + 3ax - 10{a^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + 5ax - 2ax - 10{a^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow (x - 2a)(x + 5a) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2a = 0}\\{x + 5a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2a\;\;\left( {tm} \right)}\\{x = - 5a\;\;\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2a.}\end{array}\)

Ta có: \(\frac{{AM}}{{CD}} = \frac{{AE}}{{ED}} \Leftrightarrow AM = \frac{{CD.AE}}{{ED}} = \frac{{a.x}}{{a + x}} = \frac{{2{a^2}}}{{3a}} = \frac{{2a}}{3}.\)

Vậy M là điểm nằm giữa A và B thỏa mãn : \(AM = \frac{{2a}}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link